Розв'яжіть frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 5 } } { 2 - \sqrt { 5 } }$$

Обчислити

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17,94427191$$

Покрокове розв’язання

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}, помноживши чисельник і знаменник на 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

Розглянемо \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Піднесіть 2 до квадрата. Піднесіть \sqrt{5} до квадрата.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

Відніміть 5 від 4, щоб отримати -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

Помножте 2+\sqrt{5} на 2+\sqrt{5}, щоб отримати \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Квадрат \sqrt{5} дорівнює 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}$$

Додайте 4 до 5, щоб обчислити 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}$$

Якщо поділити число на –1, ви отримаєте протилежне число. Щоб знайти протилежне виразу 9+4\sqrt{5}, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$-9-4\sqrt{5}$$