Розв'яжіть frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}=a+bsqrt{3}

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } } = a + b \sqrt { 3 }$$

Знайдіть b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a-4\sqrt{3}-7\right)}{3}$$

Покрокові інструкції з розв’язання лінійного рівняння

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}, помноживши чисельник і знаменник на 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Розглянемо \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Піднесіть 2 до квадрата. Піднесіть \sqrt{3} до квадрата.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}=a+b\sqrt{3}$$

Відніміть 3 від 4, щоб отримати 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}=a+b\sqrt{3}$$

Результат ділення будь-якого числа на одиницю дорівнює самому числу.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=a+b\sqrt{3}$$

Помножте 2+\sqrt{3} на 2+\sqrt{3}, щоб отримати \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$4+4\sqrt{3}+3=a+b\sqrt{3}$$

Додайте 4 до 3, щоб обчислити 7.

$$7+4\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Перенесіть усі змінні члени до лівої частини рівняння.

$$a+b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}$$

Відніміть a з обох сторін.

$$b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}-a$$

Рівняння має стандартну форму.

$$\sqrt{3}b=-a+4\sqrt{3}+7$$

Розділіть обидві сторони на \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Ділення на \sqrt{3} скасовує множення на \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Розділіть 4\sqrt{3}-a+7 на \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+4\sqrt{3}+7\right)}{3}$$

Знайдіть a

$$a=-\sqrt{3}b+4\sqrt{3}+7$$