Розв'яжіть 1500/x-1500/x+250=1/2

$$\frac { 1500 } { x } - \frac { 1500 } { x + 250 } = \frac { 1 } { 2 }$$

Знайдіть x

$$x=-1000$$

$$x=750$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -250,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на 2x\left(x+250\right) (найменше спільне кратне для x,x+250,2).

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2x+500 на 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Помножте 2 на 1500, щоб отримати 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x на x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Відніміть 250x з обох сторін.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Додайте 3000x до -250x, щоб отримати 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Додайте 2750x до -3000x, щоб отримати -250x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Упорядкуйте многочлен, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте доданки в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -x^{2}+ax+bx+750000. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-250 ab=-750000=-750000$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -750000.

$$1,-750000 2,-375000 3,-250000 4,-187500 5,-150000 6,-125000 8,-93750 10,-75000 12,-62500 15,-50000 16,-46875 20,-37500 24,-31250 25,-30000 30,-25000 40,-18750 48,-15625 50,-15000 60,-12500 75,-10000 80,-9375 100,-7500 120,-6250 125,-6000 150,-5000 200,-3750 240,-3125 250,-3000 300,-2500 375,-2000 400,-1875 500,-1500 600,-1250 625,-1200 750,-1000$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-750000=-749999 2-375000=-374998 3-250000=-249997 4-187500=-187496 5-150000=-149995 6-125000=-124994 8-93750=-93742 10-75000=-74990 12-62500=-62488 15-50000=-49985 16-46875=-46859 20-37500=-37480 24-31250=-31226 25-30000=-29975 30-25000=-24970 40-18750=-18710 48-15625=-15577 50-15000=-14950 60-12500=-12440 75-10000=-9925 80-9375=-9295 100-7500=-7400 120-6250=-6130 125-6000=-5875 150-5000=-4850 200-3750=-3550 240-3125=-2885 250-3000=-2750 300-2500=-2200 375-2000=-1625 400-1875=-1475 500-1500=-1000 600-1250=-650 625-1200=-575 750-1000=-250$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 250.

$$a=-750 b=1000$$

Перепишіть -x^{2}-250x+750000 як \left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right).

$$\left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right)$$

x на першій та 1000 в друге групу.

$$x\left(x-750\right)+1000\left(x-750\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-750, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-750\right)\left(x+1000\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-750=0 та x+1000=0.

$$x=750 x=-1000$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -250,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на 2x\left(x+250\right) (найменше спільне кратне для x,x+250,2).

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2x+500 на 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Помножте 2 на 1500, щоб отримати 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x на x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Відніміть 250x з обох сторін.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Додайте 3000x до -250x, щоб отримати 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Додайте 2750x до -3000x, щоб отримати -250x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, -250 замість b і 750000 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{\left(-250\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть -250 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+4\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на 750000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+3000000}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 62500 до 3000000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{3062500}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 3062500.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±1750}{2\left(-1\right)}$$

Число, протилежне до -250, дорівнює 250.

$$x=\frac{250±1750}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{250±1750}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{250±1750}{-2} за додатного значення ±. Додайте 250 до 1750.

$$x=\frac{2000}{-2}$$

Розділіть 2000 на -2.

$$x=-1000$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{250±1750}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 1750 від 250.

$$x=-\frac{1500}{-2}$$

Розділіть -1500 на -2.

$$x=750$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-1000 x=750$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -250,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на 2x\left(x+250\right) (найменше спільне кратне для x,x+250,2).

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2x+500 на 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Помножте 2 на 1500, щоб отримати 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x на x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Відніміть 250x з обох сторін.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Додайте 3000x до -250x, щоб отримати 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Відніміть 750000 з обох сторін. Якщо відняти будь-яке число від нуля, ви отримаєте його протилежне за знаком число.

$$2750x-3000x-x^{2}=-750000$$

Додайте 2750x до -3000x, щоб отримати -250x.

$$-250x-x^{2}=-750000$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-250x=-750000$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}-250x}{-1}=-\frac{750000}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{250}{-1}\right)x=-\frac{750000}{-1}$$

Розділіть -250 на -1.

$$x^{2}+250x=-\frac{750000}{-1}$$

Розділіть -750000 на -1.

$$x^{2}+250x=750000$$

Поділіть 250 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати 125. Потім додайте 125 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+250x+125^{2}=750000+125^{2}$$

Піднесіть 125 до квадрата.

$$x^{2}+250x+15625=750000+15625$$

Додайте 750000 до 15625.

$$x^{2}+250x+15625=765625$$

Розкладіть x^{2}+250x+15625 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+125\right)^{2}=765625$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+125\right)^{2}}=\sqrt{765625}$$

Виконайте спрощення.

$$x+125=875 x+125=-875$$

Відніміть 125 від обох сторін цього рівняння.

$$x=750 x=-1000$$