Розв'яжіть 10/(x+3)(x-7)-8/(x+3)(x-5)=x+10/(x-5)(x-7)

$$\frac { 10 } { ( x + 3 ) ( x - 7 ) } - \frac { 8 } { ( x + 3 ) ( x - 5 ) } = \frac { x + 10 } { ( x - 5 ) ( x - 7 ) }$$

Знайдіть x

$$x=-8$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -3,5,7, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-7\right)\left(x-5\right)\left(x+3\right) (найменше спільне кратне для \left(x+3\right)\left(x-7\right),\left(x+3\right)\left(x-5\right),\left(x-5\right)\left(x-7\right)).

$$\left(x-5\right)\times 10-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-5 на 10.

$$10x-50-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-7 на 8.

$$10x-50-\left(8x-56\right)=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу 8x-56, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$10x-50-8x+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Додайте 10x до -8x, щоб отримати 2x.

$$2x-50+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Додайте -50 до 56, щоб обчислити 6.

$$2x+6=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+3 на x+10 і звести подібні члени.

$$2x+6=x^{2}+13x+30$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$2x+6-x^{2}=13x+30$$

Відніміть 13x з обох сторін.

$$2x+6-x^{2}-13x=30$$

Додайте 2x до -13x, щоб отримати -11x.

$$-11x+6-x^{2}=30$$

Відніміть 30 з обох сторін.

$$-11x+6-x^{2}-30=0$$

Відніміть 30 від 6, щоб отримати -24.

$$-11x-24-x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}-11x-24=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, -11 замість b і -24 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть -11 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на -24.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 121 до -96.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 25.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±5}{2\left(-1\right)}$$

Число, протилежне до -11, дорівнює 11.

$$x=\frac{11±5}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{11±5}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{11±5}{-2} за додатного значення ±. Додайте 11 до 5.

$$x=\frac{16}{-2}$$

Розділіть 16 на -2.

$$x=-8$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{11±5}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 5 від 11.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Розділіть 6 на -2.

$$x=-3$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-8 x=-3$$

Змінна x не може дорівнювати -3.

$$x=-8$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -3,5,7, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-7\right)\left(x-5\right)\left(x+3\right) (найменше спільне кратне для \left(x+3\right)\left(x-7\right),\left(x+3\right)\left(x-5\right),\left(x-5\right)\left(x-7\right)).

$$\left(x-5\right)\times 10-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-5 на 10.

$$10x-50-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-7 на 8.

$$10x-50-\left(8x-56\right)=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу 8x-56, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$10x-50-8x+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Додайте 10x до -8x, щоб отримати 2x.

$$2x-50+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Додайте -50 до 56, щоб обчислити 6.

$$2x+6=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+3 на x+10 і звести подібні члени.

$$2x+6=x^{2}+13x+30$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$2x+6-x^{2}=13x+30$$

Відніміть 13x з обох сторін.

$$2x+6-x^{2}-13x=30$$

Додайте 2x до -13x, щоб отримати -11x.

$$-11x+6-x^{2}=30$$

Відніміть 6 з обох сторін.

$$-11x-x^{2}=30-6$$

Відніміть 6 від 30, щоб отримати 24.

$$-11x-x^{2}=24$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-11x=24$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}-11x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{11}{-1}\right)x=\frac{24}{-1}$$

Розділіть -11 на -1.

$$x^{2}+11x=\frac{24}{-1}$$

Розділіть 24 на -1.

$$x^{2}+11x=-24$$

Поділіть 11 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{11}{2}. Потім додайте \frac{11}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+11x+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=-24+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{11}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=-24+\frac{121}{4}$$

Додайте -24 до \frac{121}{4}.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=\frac{25}{4}$$

Розкладіть x^{2}+11x+\frac{121}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{11}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{11}{2}=-\frac{5}{2}$$

Відніміть \frac{11}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=-3 x=-8$$

Змінна x не може дорівнювати -3.

$$x=-8$$