Розв'яжіть 1/x-2-4/x^2-4=1

$$\frac { 1 } { x - 2 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 } = 1$$

Знайдіть x

$$x=-1$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -2,2, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-2\right)\left(x+2\right) (найменше спільне кратне для x-2,x^{2}-4).

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Відніміть 4 від 2, щоб отримати -2.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Розглянемо \left(x-2\right)\left(x+2\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Піднесіть 2 до квадрата.

$$x-2=x^{2}-4$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$x-2-x^{2}=-4$$

Додайте 4 до обох сторін.

$$x-2-x^{2}+4=0$$

Додайте -2 до 4, щоб обчислити 2.

$$x+2-x^{2}=0$$

Упорядкуйте многочлен, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте доданки в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$-x^{2}+x+2=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -x^{2}+ax+bx+2. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=1 ab=-2=-2$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Єдиною такою парою буде розв’язок системи рівнянь.

$$a=2 b=-1$$

Перепишіть -x^{2}+x+2 як \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right)$$

Винесіть за дужки -x в першій і -1 у другій групі.

$$-x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-2\right)\left(-x-1\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть x-2=0 і -x-1=0.

$$x=2 x=-1$$

Змінна x не може дорівнювати 2.

$$x=-1$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -2,2, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-2\right)\left(x+2\right) (найменше спільне кратне для x-2,x^{2}-4).

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Відніміть 4 від 2, щоб отримати -2.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Розглянемо \left(x-2\right)\left(x+2\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Піднесіть 2 до квадрата.

$$x-2=x^{2}-4$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$x-2-x^{2}=-4$$

Додайте 4 до обох сторін.

$$x-2-x^{2}+4=0$$

Додайте -2 до 4, щоб обчислити 2.

$$x+2-x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}+x+2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 1 замість b і 2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 1 до 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 9.

$$x=\frac{-1±3}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{-1±3}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±3}{-2} за додатного значення ±. Додайте -1 до 3.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Розділіть 2 на -2.

$$x=-1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±3}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 3 від -1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Розділіть -4 на -2.

$$x=2$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-1 x=2$$

Змінна x не може дорівнювати 2.

$$x=-1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -2,2, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-2\right)\left(x+2\right) (найменше спільне кратне для x-2,x^{2}-4).

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Відніміть 4 від 2, щоб отримати -2.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Розглянемо \left(x-2\right)\left(x+2\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Піднесіть 2 до квадрата.

$$x-2=x^{2}-4$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$x-2-x^{2}=-4$$

Додайте 2 до обох сторін.

$$x-x^{2}=-4+2$$

Додайте -4 до 2, щоб обчислити -2.

$$x-x^{2}=-2$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-2$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{2}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{2}{-1}$$

Розділіть 1 на -1.

$$x^{2}-x=-\frac{2}{-1}$$

Розділіть -2 на -1.

$$x^{2}-x=2$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Додайте 2 до \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Розкладіть x^{2}-x+\frac{1}{4} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=2 x=-1$$

Змінна x не може дорівнювати 2.

$$x=-1$$