Розв'яжіть 1/x-1-x/x+1-2=0

$$\frac { 1 } { x - 1 } - \frac { x } { x + 1 } - 2 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{10} + 1}{3} \approx 1,387425887$$

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}\approx -0,72075922$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -1,1, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-1\right)\left(x+1\right) (найменше спільне кратне для x-1,x+1).

$$x+1-\left(x-1\right)x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-1 на x.

$$x+1-\left(x^{2}-x\right)+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}-x, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$x+1-x^{2}+x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Додайте x до x, щоб отримати 2x.

$$2x+1-x^{2}+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-1 на x+1 і звести подібні члени.

$$2x+1-x^{2}+\left(x^{2}-1\right)\left(-2\right)=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x^{2}-1 на -2.

$$2x+1-x^{2}-2x^{2}+2=0$$

Додайте -x^{2} до -2x^{2}, щоб отримати -3x^{2}.

$$2x+1-3x^{2}+2=0$$

Додайте 1 до 2, щоб обчислити 3.

$$2x+3-3x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-3x^{2}+2x+3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -3 замість a, 2 замість b і 3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

Піднесіть 2 до квадрата.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте -4 на -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 12 на 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+36}}{2\left(-3\right)}$$

Додайте 4 до 36.

$$x=\frac{-2±\sqrt{40}}{2\left(-3\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 40.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 2 на -3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{-6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{-6} за додатного значення ±. Додайте -2 до 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-2}{-6}$$

Розділіть -2+2\sqrt{10} на -6.

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{-6} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{10} від -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-2}{-6}$$

Розділіть -2-2\sqrt{10} на -6.

$$x=\frac{\sqrt{10}+1}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3} x=\frac{\sqrt{10}+1}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -1,1, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-1\right)\left(x+1\right) (найменше спільне кратне для x-1,x+1).

$$x+1-\left(x-1\right)x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-1 на x.

$$x+1-\left(x^{2}-x\right)+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}-x, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$x+1-x^{2}+x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Додайте x до x, щоб отримати 2x.

$$2x+1-x^{2}+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-1 на x+1 і звести подібні члени.

$$2x+1-x^{2}+\left(x^{2}-1\right)\left(-2\right)=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x^{2}-1 на -2.

$$2x+1-x^{2}-2x^{2}+2=0$$

Додайте -x^{2} до -2x^{2}, щоб отримати -3x^{2}.

$$2x+1-3x^{2}+2=0$$

Додайте 1 до 2, щоб обчислити 3.

$$2x+3-3x^{2}=0$$

Відніміть 3 з обох сторін. Якщо відняти будь-яке число від нуля, ви отримаєте його протилежне за знаком число.

$$2x-3x^{2}=-3$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+2x=-3$$

Розділіть обидві сторони на -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{3}{-3}$$

Ділення на -3 скасовує множення на -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{3}{-3}$$

Розділіть 2 на -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{3}{-3}$$

Розділіть -3 на -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=1$$

Поділіть -\frac{2}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{3}. Потім додайте -\frac{1}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1+\frac{1}{9}$$

Додайте 1 до \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{10}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{10}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{3}$$

Додайте \frac{1}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{10}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$$