Розв'яжіть 1/x-1+1/x-4=5/4

$$\frac { 1 } { x - 1 } + \frac { 1 } { x - 4 } = \frac { 5 } { 4 }$$

Знайдіть x

$$x=5$$

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1,6$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень 1,4, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на 4\left(x-4\right)\left(x-1\right) (найменше спільне кратне для x-1,x-4,4).

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Додайте 4x до 4x, щоб отримати 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Відніміть 4 від -16, щоб отримати -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 5 на x-4.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 5x-20 на x-1 і звести подібні члени.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Відніміть 5x^{2} з обох сторін.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Додайте 25x до обох сторін.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Додайте 8x до 25x, щоб отримати 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Відніміть 20 з обох сторін.

$$33x-20-5x^{2}-20=0$$

Відніміть 20 від -20, щоб отримати -40.

$$33x-40-5x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-5x^{2}+33x-40=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -5 замість a, 33 замість b і -40 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Піднесіть 33 до квадрата.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Помножте -4 на -5.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+20\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Помножте 20 на -40.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\left(-5\right)}$$

Додайте 1089 до -800.

$$x=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\left(-5\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 289.

$$x=\frac{-33±17}{2\left(-5\right)}$$

Помножте 2 на -5.

$$x=\frac{-33±17}{-10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-33±17}{-10} за додатного значення ±. Додайте -33 до 17.

$$x=-\frac{16}{-10}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-16}{-10} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{8}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-33±17}{-10} за від’ємного значення ±. Відніміть 17 від -33.

$$x=-\frac{50}{-10}$$

Розділіть -50 на -10.

$$x=5$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{8}{5} x=5$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень 1,4, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на 4\left(x-4\right)\left(x-1\right) (найменше спільне кратне для x-1,x-4,4).

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Додайте 4x до 4x, щоб отримати 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Відніміть 4 від -16, щоб отримати -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 5 на x-4.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 5x-20 на x-1 і звести подібні члени.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Відніміть 5x^{2} з обох сторін.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Додайте 25x до обох сторін.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Додайте 8x до 25x, щоб отримати 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Додайте 20 до обох сторін.

$$33x-5x^{2}=20+20$$

Додайте 20 до 20, щоб обчислити 40.

$$33x-5x^{2}=40$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+33x=40$$

Розділіть обидві сторони на -5.

$$\frac{-5x^{2}+33x}{-5}=\frac{40}{-5}$$

Ділення на -5 скасовує множення на -5.

$$x^{2}+\frac{33}{-5}x=\frac{40}{-5}$$

Розділіть 33 на -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=\frac{40}{-5}$$

Розділіть 40 на -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=-8$$

Поділіть -\frac{33}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{33}{10}. Потім додайте -\frac{33}{10} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{33}{10} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=-8+\frac{1089}{100}$$

Додайте -8 до \frac{1089}{100}.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{289}{100}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{289}{100}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{100}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{33}{10}=\frac{17}{10} x-\frac{33}{10}=-\frac{17}{10}$$

Додайте \frac{33}{10} до обох сторін цього рівняння.

$$x=5 x=\frac{8}{5}$$