Розв'яжіть 1/x+4/x+1+1=15/x

$$\frac { 1 } { x } + \frac { 4 } { x + 1 } + 1 = \frac { 15 } { x }$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{137} + 9}{2} \approx 10,352349955$$

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}\approx -1,352349955$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -1,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x\left(x+1\right) (найменше спільне кратне для x,x+1).

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Додайте x до x\times 4, щоб отримати 5x.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x на x+1.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Додайте 5x до x, щоб отримати 6x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+1 на 15.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Відніміть 15x з обох сторін.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Додайте 6x до -15x, щоб отримати -9x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Відніміть 15 з обох сторін.

$$-9x+1+x^{2}-15=0$$

Відніміть 15 від 1, щоб отримати -14.

$$-9x-14+x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}-9x-14=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -9 замість b і -14 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

Піднесіть -9 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-14\right)}}{2}$$

Помножте -4 на -14.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+56}}{2}$$

Додайте 81 до 56.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{137}}{2}$$

Число, протилежне до -9, дорівнює 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{137}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{9±\sqrt{137}}{2} за додатного значення ±. Додайте 9 до \sqrt{137}.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{9±\sqrt{137}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{137} від 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -1,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x\left(x+1\right) (найменше спільне кратне для x,x+1).

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Додайте x до x\times 4, щоб отримати 5x.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x на x+1.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Додайте 5x до x, щоб отримати 6x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+1 на 15.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Відніміть 15x з обох сторін.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Додайте 6x до -15x, щоб отримати -9x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Відніміть 1 з обох сторін.

$$-9x+x^{2}=15-1$$

Відніміть 1 від 15, щоб отримати 14.

$$-9x+x^{2}=14$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-9x=14$$

Поділіть -9 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{9}{2}. Потім додайте -\frac{9}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=14+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{9}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=14+\frac{81}{4}$$

Додайте 14 до \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{137}{4}$$

Розкладіть x^{2}-9x+\frac{81}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{137}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{137}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{137}}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{137}}{2}$$

Додайте \frac{9}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$