Розв'яжіть 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Знайдіть x

$$x=-1$$

Покрокове розв’язання

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -8,-5,-2,1, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right) (найменше спільне кратне для x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21).

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 21 на x+5.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 21x+105 на x+8 і звести подібні члени.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 21 на x-1.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 21x-21 на x+8 і звести подібні члени.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Додайте 21x^{2} до 21x^{2}, щоб отримати 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Додайте 273x до 147x, щоб отримати 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Відніміть 168 від 840, щоб отримати 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 21 на x+2.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 21x+42 на x-1 і звести подібні члени.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Додайте 42x^{2} до 21x^{2}, щоб отримати 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Додайте 420x до 21x, щоб отримати 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Відніміть 42 від 672, щоб отримати 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 7 на x+2.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 7x+14 на x+5 і звести подібні члени.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 7x^{2}+49x+70 на x+8 і звести подібні члени.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Помножте 21 на -\frac{1}{21}, щоб отримати -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -1 на x-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -x+1 на x+2 і звести подібні члени.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -x^{2}-x+2 на x+5 і звести подібні члени.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -x^{3}-6x^{2}-3x+10 на x+8 і звести подібні члени.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Додайте 7x^{3} до -14x^{3}, щоб отримати -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Додайте 105x^{2} до -51x^{2}, щоб отримати 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Додайте 462x до -14x, щоб отримати 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Додайте 560 до 80, щоб обчислити 640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Додайте 7x^{3} до обох сторін.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Відніміть 54x^{2} з обох сторін.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Додайте 63x^{2} до -54x^{2}, щоб отримати 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Відніміть 448x з обох сторін.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Додайте 441x до -448x, щоб отримати -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Відніміть 640 з обох сторін.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Відніміть 640 від 630, щоб отримати -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Додайте x^{4} до обох сторін.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Упорядкуйте рівняння, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте члени в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -10, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=1$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 на x-1, щоб отримати x^{3}+8x^{2}+17x+10. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 10, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=-1$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{3}+8x^{2}+17x+10 на x+1, щоб отримати x^{2}+7x+10. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 7 – на b, а 10 – на c.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x^{2}+7x+10=0 для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=-5 x=-2$$

Видаліть значення, яким не може дорівнювати змінна.

$$x=-1$$

Список усіх знайдених рішень.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень 1,-5,-2.

$$x=-1$$