Розв'яжіть 1/x+40+1/x=1/48

$$\frac { 1 } { x + 40 } + \frac { 1 } { x } = \frac { 1 } { 48 }$$

Знайдіть x

$$x=-24$$

$$x=80$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -40,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на 48x\left(x+40\right) (найменше спільне кратне для x+40,x,48).

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Додайте 48x до 48x, щоб отримати 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x на x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Відніміть 40x з обох сторін.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Додайте 96x до -40x, щоб отримати 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Упорядкуйте многочлен, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте доданки в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -x^{2}+ax+bx+1920. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=56 ab=-1920=-1920$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -1920.

$$-1,1920 -2,960 -3,640 -4,480 -5,384 -6,320 -8,240 -10,192 -12,160 -15,128 -16,120 -20,96 -24,80 -30,64 -32,60 -40,48$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+1920=1919 -2+960=958 -3+640=637 -4+480=476 -5+384=379 -6+320=314 -8+240=232 -10+192=182 -12+160=148 -15+128=113 -16+120=104 -20+96=76 -24+80=56 -30+64=34 -32+60=28 -40+48=8$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 56.

$$a=80 b=-24$$

Перепишіть -x^{2}+56x+1920 як \left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right).

$$\left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right)$$

-x на першій та -24 в друге групу.

$$-x\left(x-80\right)-24\left(x-80\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-80, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-80\right)\left(-x-24\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-80=0 та -x-24=0.

$$x=80 x=-24$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -40,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на 48x\left(x+40\right) (найменше спільне кратне для x+40,x,48).

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Додайте 48x до 48x, щоб отримати 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x на x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Відніміть 40x з обох сторін.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Додайте 96x до -40x, щоб отримати 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 56 замість b і 1920 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-56±\sqrt{56^{2}-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 56 до квадрата.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+4\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на 1920.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+7680}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 3136 до 7680.

$$x=\frac{-56±\sqrt{10816}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 10816.

$$x=\frac{-56±104}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{-56±104}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-56±104}{-2} за додатного значення ±. Додайте -56 до 104.

$$x=\frac{48}{-2}$$

Розділіть 48 на -2.

$$x=-24$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-56±104}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 104 від -56.

$$x=-\frac{160}{-2}$$

Розділіть -160 на -2.

$$x=80$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-24 x=80$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -40,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на 48x\left(x+40\right) (найменше спільне кратне для x+40,x,48).

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Додайте 48x до 48x, щоб отримати 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x на x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Відніміть 40x з обох сторін.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Додайте 96x до -40x, щоб отримати 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Відніміть 1920 з обох сторін. Якщо відняти будь-яке число від нуля, ви отримаєте його протилежне за знаком число.

$$56x-x^{2}=-1920$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+56x=-1920$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}+56x}{-1}=-\frac{1920}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\frac{56}{-1}x=-\frac{1920}{-1}$$

Розділіть 56 на -1.

$$x^{2}-56x=-\frac{1920}{-1}$$

Розділіть -1920 на -1.

$$x^{2}-56x=1920$$

Поділіть -56 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -28. Потім додайте -28 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-56x+\left(-28\right)^{2}=1920+\left(-28\right)^{2}$$

Піднесіть -28 до квадрата.

$$x^{2}-56x+784=1920+784$$

Додайте 1920 до 784.

$$x^{2}-56x+784=2704$$

Розкладіть x^{2}-56x+784 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-28\right)^{2}=2704$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-28\right)^{2}}=\sqrt{2704}$$

Виконайте спрощення.

$$x-28=52 x-28=-52$$

Додайте 28 до обох сторін цього рівняння.

$$x=80 x=-24$$