Розв'яжіть 1/x+1+x+3/(x-2)(x+1)=7x/(x+1)(x-2)-x/(x+1)

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { x + 3 } { ( x - 2 ) ( x + 1 ) } = \frac { 7 x } { ( x + 1 ) ( x - 2 ) } - \frac { x } { ( x + 1 ) }$$

Знайдіть x

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 7}{2} \approx 6,854101966$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\approx 0,145898034$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -1,2, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-2\right)\left(x+1\right) (найменше спільне кратне для x+1,\left(x-2\right)\left(x+1\right)).

$$x-2+x+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Додайте x до x, щоб отримати 2x.

$$2x-2+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Додайте -2 до 3, щоб обчислити 1.

$$2x+1=7x-\left(x-2\right)x$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-2 на x.

$$2x+1=7x-\left(x^{2}-2x\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}-2x, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$2x+1=7x-x^{2}+2x$$

Додайте 7x до 2x, щоб отримати 9x.

$$2x+1=9x-x^{2}$$

Відніміть 9x з обох сторін.

$$2x+1-9x=-x^{2}$$

Додайте 2x до -9x, щоб отримати -7x.

$$-7x+1=-x^{2}$$

Додайте x^{2} до обох сторін.

$$-7x+1+x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}-7x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -7 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4}}{2}$$

Піднесіть -7 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4}}{2}$$

Додайте 49 до -4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{45}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 45.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

Число, протилежне до -7, дорівнює 7.

$$x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2} за додатного значення ±. Додайте 7 до 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 3\sqrt{5} від 7.

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -1,2, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-2\right)\left(x+1\right) (найменше спільне кратне для x+1,\left(x-2\right)\left(x+1\right)).

$$x-2+x+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Додайте x до x, щоб отримати 2x.

$$2x-2+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Додайте -2 до 3, щоб обчислити 1.

$$2x+1=7x-\left(x-2\right)x$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-2 на x.

$$2x+1=7x-\left(x^{2}-2x\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}-2x, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$2x+1=7x-x^{2}+2x$$

Додайте 7x до 2x, щоб отримати 9x.

$$2x+1=9x-x^{2}$$

Відніміть 9x з обох сторін.

$$2x+1-9x=-x^{2}$$

Додайте 2x до -9x, щоб отримати -7x.

$$-7x+1=-x^{2}$$

Додайте x^{2} до обох сторін.

$$-7x+1+x^{2}=0$$

Відніміть 1 з обох сторін. Якщо відняти будь-яке число від нуля, ви отримаєте його протилежне за знаком число.

$$-7x+x^{2}=-1$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-7x=-1$$

Поділіть -7 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{2}. Потім додайте -\frac{7}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-1+\frac{49}{4}$$

Додайте -1 до \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{45}{4}$$

Розкладіть x^{2}-7x+\frac{49}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Додайте \frac{7}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$