Розв'яжіть 1/2-sqrt{2}+1/sqrt{2-1}):1/2

$$\frac { 1 } { 2 - \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } - 1 } ) : \frac { 1 } { 2 }$$

Обчислити

$$\frac{3\sqrt{2}}{2}+2\approx 4,121320344$$

Стислі кроки з розв’язання

Звільніть від ірраціональності знаменник дробу \frac{1}{2-\sqrt{2}}: помножте чисельник і знаменник на 2+\sqrt{2}.

$$\frac{2+\sqrt{2}}{\left(2-\sqrt{2}\right)\left(2+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{\sqrt{2}-1}$$

Розглянемо \left(2-\sqrt{2}\right)\left(2+\sqrt{2}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2+\sqrt{2}}{2^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}-1}$$

Піднесіть 2 до квадрата. Піднесіть \sqrt{2} до квадрата.

$$\frac{2+\sqrt{2}}{4-2}+\frac{1}{\sqrt{2}-1}$$

Відніміть 2 від 4, щоб отримати 2.

$$\frac{2+\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}-1}$$

Звільніть від ірраціональності знаменник дробу \frac{1}{\sqrt{2}-1}: помножте чисельник і знаменник на \sqrt{2}+1.

$$\frac{2+\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}+1}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}$$

Розглянемо \left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2+\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}+1}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}$$

Піднесіть \sqrt{2} до квадрата. Піднесіть 1 до квадрата.

$$\frac{2+\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}$$

Відніміть 1 від 2, щоб отримати 1.

$$\frac{2+\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}+1}{1}$$

Результат ділення будь-якого числа на одиницю дорівнює самому числу.

$$\frac{2+\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}+1$$

Щоб додавати або віднімати вирази, розкрийте дужки та приведіть їх до спільного знаменника. Помножте \sqrt{2}+1 на \frac{2}{2}.

$$\frac{2+\sqrt{2}}{2}+\frac{2\left(\sqrt{2}+1\right)}{2}$$

Оскільки знаменник дробів \frac{2+\sqrt{2}}{2} і \frac{2\left(\sqrt{2}+1\right)}{2} збігається, щоб знайти їх суму, достатньо скласти чисельники.

$$\frac{2+\sqrt{2}+2\left(\sqrt{2}+1\right)}{2}$$

Виконайте множення у виразі 2+\sqrt{2}+2\left(\sqrt{2}+1\right).

$$\frac{2+\sqrt{2}+2\sqrt{2}+2}{2}$$

Виконайте арифметичні операції у виразі 2+\sqrt{2}+2\sqrt{2}+2.

$$\frac{4+3\sqrt{2}}{2}$$