Розв'яжіть 1/(x-3)=2x+1/x^2-4

$$\frac { 1 } { ( x - 3 ) } = \frac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{21} + 5}{2} \approx 4,791287847$$

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}\approx 0,208712153$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -2,2,3, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right) (найменше спільне кратне для x-3,x^{2}-4).

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-3 на 2x+1 і звести подібні члени.

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

Відніміть 2x^{2} з обох сторін.

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

Додайте x^{2} до -2x^{2}, щоб отримати -x^{2}.

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

Додайте 5x до обох сторін.

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

Додайте 3 до обох сторін.

$$-x^{2}-4+5x+3=0$$

Додайте -4 до 3, щоб обчислити -1.

$$-x^{2}-1+5x=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}+5x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 5 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 5 до квадрата.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 25 до -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2} за додатного значення ±. Додайте -5 до \sqrt{21}.

$$x=\frac{\sqrt{21}-5}{-2}$$

Розділіть -5+\sqrt{21} на -2.

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{21} від -5.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-5}{-2}$$

Розділіть -5-\sqrt{21} на -2.

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2} x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -2,2,3, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right) (найменше спільне кратне для x-3,x^{2}-4).

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-3 на 2x+1 і звести подібні члени.

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

Відніміть 2x^{2} з обох сторін.

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

Додайте x^{2} до -2x^{2}, щоб отримати -x^{2}.

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

Додайте 5x до обох сторін.

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

Додайте 4 до обох сторін.

$$-x^{2}+5x=-3+4$$

Додайте -3 до 4, щоб обчислити 1.

$$-x^{2}+5x=1$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

Розділіть 5 на -1.

$$x^{2}-5x=\frac{1}{-1}$$

Розділіть 1 на -1.

$$x^{2}-5x=-1$$

Поділіть -5 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{2}. Потім додайте -\frac{5}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-1+\frac{25}{4}$$

Додайте -1 до \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{21}{4}$$

Розкладіть x^{2}-5x+\frac{25}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{21}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$

Додайте \frac{5}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$