Розв'яжіть -f/10f+42=1/f+3

$$\frac { - f } { 10 f + 42 } = \frac { 1 } { f + 3 }$$

Знайдіть f

$$f=-7$$

$$f=-6$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна f не може дорівнювати жодному зі значень -\frac{21}{5},-3, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на 2\left(f+3\right)\left(5f+21\right) (найменше спільне кратне для 10f+42,f+3).

$$\left(f+3\right)\left(-f\right)=10f+42$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити f+3 на -f.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)=10f+42$$

Відніміть 10f з обох сторін.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)-10f=42$$

Відніміть 42 з обох сторін.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)-10f-42=0$$

Помножте f на f, щоб отримати f^{2}.

$$f^{2}\left(-1\right)+3\left(-1\right)f-10f-42=0$$

Помножте 3 на -1, щоб отримати -3.

$$f^{2}\left(-1\right)-3f-10f-42=0$$

Додайте -3f до -10f, щоб отримати -13f.

$$f^{2}\left(-1\right)-13f-42=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-f^{2}-13f-42=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, -13 замість b і -42 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-42\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть -13 до квадрата.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\left(-1\right)\left(-42\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+4\left(-42\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на -42.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 169 до -168.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±1}{2\left(-1\right)}$$

Число, протилежне до -13, дорівнює 13.

$$f=\frac{13±1}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$f=\frac{13±1}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння f=\frac{13±1}{-2} за додатного значення ±. Додайте 13 до 1.

$$f=\frac{14}{-2}$$

Розділіть 14 на -2.

$$f=-7$$

Тепер розв’яжіть рівняння f=\frac{13±1}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 1 від 13.

$$f=\frac{12}{-2}$$

Розділіть 12 на -2.

$$f=-6$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$f=-7 f=-6$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна f не може дорівнювати жодному зі значень -\frac{21}{5},-3, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на 2\left(f+3\right)\left(5f+21\right) (найменше спільне кратне для 10f+42,f+3).

$$\left(f+3\right)\left(-f\right)=10f+42$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити f+3 на -f.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)=10f+42$$

Відніміть 10f з обох сторін.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)-10f=42$$

Помножте f на f, щоб отримати f^{2}.

$$f^{2}\left(-1\right)+3\left(-1\right)f-10f=42$$

Помножте 3 на -1, щоб отримати -3.

$$f^{2}\left(-1\right)-3f-10f=42$$

Додайте -3f до -10f, щоб отримати -13f.

$$f^{2}\left(-1\right)-13f=42$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-f^{2}-13f=42$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-f^{2}-13f}{-1}=\frac{42}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$f^{2}+\left(-\frac{13}{-1}\right)f=\frac{42}{-1}$$

Розділіть -13 на -1.

$$f^{2}+13f=\frac{42}{-1}$$

Розділіть 42 на -1.

$$f^{2}+13f=-42$$

Поділіть 13 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{13}{2}. Потім додайте \frac{13}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$f^{2}+13f+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{13}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$f^{2}+13f+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Додайте -42 до \frac{169}{4}.

$$f^{2}+13f+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Розкладіть f^{2}+13f+\frac{169}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(f+\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(f+\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$f+\frac{13}{2}=\frac{1}{2} f+\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Відніміть \frac{13}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$f=-6 f=-7$$