Розв'яжіть (x+3)(6-x)/1-4x^2=-1/4

$$\frac { ( x + 3 ) ( 6 - x ) } { 1 - 4 x ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 4 }$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{155} + 3}{4} \approx 3,862474899$$

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}\approx -2,362474899$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -\frac{1}{2},\frac{1}{2}, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right) (найменше спільне кратне для 1-4x^{2},4).

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -4 на x+3.

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -4x-12 на 6-x і звести подібні члени.

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -1 на 2x-1.

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -2x+1 на 2x+1 і звести подібні члени.

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

Додайте 4x^{2} до обох сторін.

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

Додайте 4x^{2} до 4x^{2}, щоб отримати 8x^{2}.

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

Відніміть 1 з обох сторін.

$$-12x+8x^{2}-72-1=0$$

Відніміть 1 від -72, щоб отримати -73.

$$-12x+8x^{2}-73=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$8x^{2}-12x-73=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 8 замість a, -12 замість b і -73 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Піднесіть -12 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Помножте -4 на 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Помножте -32 на -73.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+2336}}{2\times 8}$$

Додайте 144 до 2336.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{2480}}{2\times 8}$$

Видобудьте квадратний корінь із 2480.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

Число, протилежне до -12, дорівнює 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

Помножте 2 на 8.

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16} за додатного значення ±. Додайте 12 до 4\sqrt{155}.

$$x=\frac{4\sqrt{155}+12}{16}$$

Розділіть 12+4\sqrt{155} на 16.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16} за від’ємного значення ±. Відніміть 4\sqrt{155} від 12.

$$x=\frac{12-4\sqrt{155}}{16}$$

Розділіть 12-4\sqrt{155} на 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -\frac{1}{2},\frac{1}{2}, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right) (найменше спільне кратне для 1-4x^{2},4).

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -4 на x+3.

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -4x-12 на 6-x і звести подібні члени.

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -1 на 2x-1.

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -2x+1 на 2x+1 і звести подібні члени.

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

Додайте 4x^{2} до обох сторін.

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

Додайте 4x^{2} до 4x^{2}, щоб отримати 8x^{2}.

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

Додайте 72 до обох сторін.

$$-12x+8x^{2}=1+72$$

Додайте 1 до 72, щоб обчислити 73.

$$-12x+8x^{2}=73$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-12x=73$$

Розділіть обидві сторони на 8.

$$\frac{8x^{2}-12x}{8}=\frac{73}{8}$$

Ділення на 8 скасовує множення на 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)x=\frac{73}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-12}{8} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{73}{8}$$

Поділіть -\frac{3}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{3}{4}. Потім додайте -\frac{3}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{73}{8}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{3}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{73}{8}+\frac{9}{16}$$

Щоб додати \frac{73}{8} до \frac{9}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{155}{16}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{155}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{155}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{155}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{155}}{4}$$

Додайте \frac{3}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$