Розв'яжіть (2a-5)^2/2-(a-3)^2+1/2geqa^2

$$\frac { ( 2 a - 5 ) ^ { 2 } } { 2 } - ( a - 3 ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \geq a ^ { 2 }$$

Знайти a

$$a\leq 1$$

Покрокове розв’язання

Помножте обидві сторони цього рівняння на 2. Оскільки 2 додатне, напрямок нерівність залишається без змін.

$$2\left(\frac{\left(2a-5\right)^{2}}{2}-\left(a-3\right)^{2}\right)+1\geq 2a^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2a-5\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-\left(a-3\right)^{2}\right)+1\geq 2a^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(a-3\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-\left(a^{2}-6a+9\right)\right)+1\geq 2a^{2}$$

Щоб знайти протилежне виразу a^{2}-6a+9, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-a^{2}+6a-9\right)+1\geq 2a^{2}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2 на \frac{4a^{2}-20a+25}{2}-a^{2}+6a-9.

$$2\times \frac{4a^{2}-20a+25}{2}-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Виразіть 2\times \frac{4a^{2}-20a+25}{2} як єдиний дріб.

$$\frac{2\left(4a^{2}-20a+25\right)}{2}-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Відкиньте 2 і 2.

$$4a^{2}-20a+25-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Додайте 4a^{2} до -2a^{2}, щоб отримати 2a^{2}.

$$2a^{2}-20a+25+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Додайте -20a до 12a, щоб отримати -8a.

$$2a^{2}-8a+25-18+1\geq 2a^{2}$$

Відніміть 18 від 25, щоб отримати 7.

$$2a^{2}-8a+7+1\geq 2a^{2}$$

Додайте 7 до 1, щоб обчислити 8.

$$2a^{2}-8a+8\geq 2a^{2}$$

Відніміть 2a^{2} з обох сторін.

$$2a^{2}-8a+8-2a^{2}\geq 0$$

Додайте 2a^{2} до -2a^{2}, щоб отримати 0.

$$-8a+8\geq 0$$

Відніміть 8 з обох сторін. Якщо відняти будь-яке число від нуля, ви отримаєте його протилежне за знаком число.

$$-8a\geq -8$$

Розділіть обидві сторони на -8. Оскільки -8 від'ємне, нерівність напрямок.

$$a\leq \frac{-8}{-8}$$

Розділіть -8 на -8, щоб отримати 1.

$$a\leq 1$$