Розв'яжіть frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}*frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}+1}

$$\frac { \sqrt { 3 } - 1 } { \sqrt { 3 } + 1 } \times \frac { \sqrt { 3 } + 1 } { \sqrt { 3 } + 1 }$$

Обчислити

$$2-\sqrt{3}\approx 0,267949192$$

Покрокове розв’язання

Розділіть \sqrt{3}+1 на \sqrt{3}+1, щоб отримати 1.

$$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\times 1$$

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}, помноживши чисельник і знаменник на \sqrt{3}-1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}\times 1$$

Розглянемо \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\times 1$$

Піднесіть \sqrt{3} до квадрата. Піднесіть 1 до квадрата.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}\times 1$$

Відніміть 1 від 3, щоб отримати 2.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}\times 1$$

Помножте \sqrt{3}-1 на \sqrt{3}-1, щоб отримати \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}\times 1$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}\times 1$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}\times 1$$

Додайте 3 до 1, щоб обчислити 4.

$$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}\times 1$$

Поділіть кожен член виразу 4-2\sqrt{3} на 2, щоб отримати 2-\sqrt{3}.

$$\left(2-\sqrt{3}\right)\times 1$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2-\sqrt{3} на 1.

$$2-\sqrt{3}$$

Розкласти на множники

$$2-\sqrt{3}$$