Розв'яжіть frac{sqrt{3}-sqrt{7}}{sqrt{3}+sqrt{7}}

$$\frac { \sqrt { 3 } - \sqrt { 7 } } { \sqrt { 3 } + \sqrt { 7 } }$$

Обчислити

$$\frac{\sqrt{21}-5}{2}\approx -0,208712153$$

Покрокове розв’язання

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{\sqrt{3}+\sqrt{7}}, помноживши чисельник і знаменник на \sqrt{3}-\sqrt{7}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}$$

Розглянемо \left(\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}$$

Піднесіть \sqrt{3} до квадрата. Піднесіть \sqrt{7} до квадрата.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{3-7}$$

Відніміть 7 від 3, щоб отримати -4.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{-4}$$

Помножте \sqrt{3}-\sqrt{7} на \sqrt{3}-\sqrt{7}, щоб отримати \left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)^{2}}{-4}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{-4}$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$\frac{3-2\sqrt{3}\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{-4}$$

Щоб перемножте \sqrt{3} та \sqrt{7}, перемножте номери в квадратних корені.

$$\frac{3-2\sqrt{21}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{-4}$$

Квадрат \sqrt{7} дорівнює 7.

$$\frac{3-2\sqrt{21}+7}{-4}$$

Додайте 3 до 7, щоб обчислити 10.

$$\frac{10-2\sqrt{21}}{-4}$$