Розв'яжіть frac{sqrt{3}+sqrt{2}}{3sqrt{3}-2sqrt{2}}=a+bsqrt{6}

$$\frac { \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } } { 3 \sqrt { 3 } - 2 \sqrt { 2 } } = a + b \sqrt { 6 }$$

Знайдіть b

$$b=-\frac{\sqrt{6}a}{6}+\frac{13\sqrt{6}}{114}+\frac{5}{19}$$

Покрокові інструкції з розв’язання лінійного рівняння

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}}, помноживши чисельник і знаменник на 3\sqrt{3}+2\sqrt{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{\left(3\sqrt{3}-2\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}=a+b\sqrt{6}$$

Розглянемо \left(3\sqrt{3}-2\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-\left(-2\sqrt{2}\right)^{2}}=a+b\sqrt{6}$$

Розкладіть \left(3\sqrt{3}\right)^{2}

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{3^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(-2\sqrt{2}\right)^{2}}=a+b\sqrt{6}$$

Обчисліть 3 у степені 2 і отримайте 9.

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{9\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(-2\sqrt{2}\right)^{2}}=a+b\sqrt{6}$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{9\times 3-\left(-2\sqrt{2}\right)^{2}}=a+b\sqrt{6}$$

Помножте 9 на 3, щоб отримати 27.

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{27-\left(-2\sqrt{2}\right)^{2}}=a+b\sqrt{6}$$

Розкладіть \left(-2\sqrt{2}\right)^{2}

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{27-\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}}=a+b\sqrt{6}$$

Обчисліть -2 у степені 2 і отримайте 4.

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{27-4\left(\sqrt{2}\right)^{2}}=a+b\sqrt{6}$$

Квадрат \sqrt{2} дорівнює 2.

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{27-4\times 2}=a+b\sqrt{6}$$

Помножте 4 на 2, щоб отримати 8.

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{27-8}=a+b\sqrt{6}$$

Відніміть 8 від 27, щоб отримати 19.

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{19}=a+b\sqrt{6}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити \sqrt{3}+\sqrt{2} на 3\sqrt{3}+2\sqrt{2} і звести подібні члени.

$$\frac{3\left(\sqrt{3}\right)^{2}+5\sqrt{3}\sqrt{2}+2\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{19}=a+b\sqrt{6}$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$\frac{3\times 3+5\sqrt{3}\sqrt{2}+2\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{19}=a+b\sqrt{6}$$

Помножте 3 на 3, щоб отримати 9.

$$\frac{9+5\sqrt{3}\sqrt{2}+2\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{19}=a+b\sqrt{6}$$

Щоб перемножте \sqrt{3} та \sqrt{2}, перемножте номери в квадратних корені.

$$\frac{9+5\sqrt{6}+2\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{19}=a+b\sqrt{6}$$

Квадрат \sqrt{2} дорівнює 2.

$$\frac{9+5\sqrt{6}+2\times 2}{19}=a+b\sqrt{6}$$

Помножте 2 на 2, щоб отримати 4.

$$\frac{9+5\sqrt{6}+4}{19}=a+b\sqrt{6}$$

Додайте 9 до 4, щоб обчислити 13.

$$\frac{13+5\sqrt{6}}{19}=a+b\sqrt{6}$$

Поділіть кожен член виразу 13+5\sqrt{6} на 19, щоб отримати \frac{13}{19}+\frac{5}{19}\sqrt{6}.

$$\frac{13}{19}+\frac{5}{19}\sqrt{6}=a+b\sqrt{6}$$

Перенесіть усі змінні члени до лівої частини рівняння.

$$a+b\sqrt{6}=\frac{13}{19}+\frac{5}{19}\sqrt{6}$$

Відніміть a з обох сторін.

$$b\sqrt{6}=\frac{13}{19}+\frac{5}{19}\sqrt{6}-a$$

Рівняння має стандартну форму.

$$\sqrt{6}b=-a+\frac{5\sqrt{6}}{19}+\frac{13}{19}$$

Розділіть обидві сторони на \sqrt{6}.

$$\frac{\sqrt{6}b}{\sqrt{6}}=\frac{-a+\frac{5\sqrt{6}}{19}+\frac{13}{19}}{\sqrt{6}}$$

Ділення на \sqrt{6} скасовує множення на \sqrt{6}.

$$b=\frac{-a+\frac{5\sqrt{6}}{19}+\frac{13}{19}}{\sqrt{6}}$$

Розділіть \frac{13}{19}+\frac{5\sqrt{6}}{19}-a на \sqrt{6}.

$$b=-\frac{\sqrt{6}a}{6}+\frac{13\sqrt{6}}{114}+\frac{5}{19}$$

Знайдіть a

$$a=-\sqrt{6}b+\frac{5\sqrt{6}}{19}+\frac{13}{19}$$