Розв'яжіть [x-1]^2+3[x]-3<0

$$[ x - 1 ] ^ { 2 } + 3 [ x ] - 3 < 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-2,1\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+3x-3<0$$

Додайте -2x до 3x, щоб отримати x.

$$x^{2}+x+1-3<0$$

Відніміть 3 від 1, щоб отримати -2.

$$x^{2}+x-2<0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}+x-2=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 1 – на b, а -2 – на c.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\left(-2\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-1±3}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±3}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=1 x=-2$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-1 і x+2 мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-1 має додатне значення, а x+2 – від’ємне.

$$x-1>0 x+2<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x+2 має додатне значення, а x-1 – від’ємне.

$$x+2>0 x-1<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(-2,1\right).

$$x\in \left(-2,1\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(-2,1\right)$$