Розв'яжіть =8x^2-22x+15

$$= 8 x ^ { 2 } - 22 x + 15$$

Розкласти на множники

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 8x^{2}+ax+bx+15. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-22 ab=8\times 15=120$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -22.

$$a=-12 b=-10$$

Перепишіть 8x^{2}-22x+15 як \left(8x^{2}-12x\right)+\left(-10x+15\right).

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(-10x+15\right)$$

4x на першій та -5 в друге групу.

$$4x\left(2x-3\right)-5\left(2x-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-22x+15=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Піднесіть -22 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Помножте -4 на 8.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-32\times 15}}{2\times 8}$$

Помножте -32 на 15.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-480}}{2\times 8}$$

Додайте 484 до -480.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{4}}{2\times 8}$$

Видобудьте квадратний корінь із 4.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±2}{2\times 8}$$

Число, протилежне до -22, дорівнює 22.

$$x=\frac{22±2}{2\times 8}$$

Помножте 2 на 8.

$$x=\frac{22±2}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{22±2}{16} за додатного значення ±. Додайте 22 до 2.

$$x=\frac{24}{16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{24}{16} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{3}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{22±2}{16} за від’ємного значення ±. Відніміть 2 від 22.

$$x=\frac{20}{16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{20}{16} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{5}{4}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{3}{2} на x_{1} та \frac{5}{4} на x_{2}.

$$8x^{2}-22x+15=8\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{5}{4}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{3}{2}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{2x-3}{2}\left(x-\frac{5}{4}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{5}{4}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{2x-3}{2}\times \frac{4x-5}{4}$$

Щоб помножити \frac{2x-3}{2} на \frac{4x-5}{4}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)}{8}$$

Відкиньте 8, тобто найбільший спільний дільник для 8 й 8.

$$8x^{2}-22x+15=\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Обчислити

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$