Розв'яжіть =25a^2-35a+12

$$= 25 a ^ { 2 } - 35 a + 12$$

Розкласти на множники

$$\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 25a^{2}+pa+qa+12. Щоб знайти p та q, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$p+q=-35 pq=25\times 12=300$$

Оскільки pq додатне, p і q мають однаковий знак. Оскільки p+q від'ємне, p і q є негативними. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 300.

$$-1,-300 -2,-150 -3,-100 -4,-75 -5,-60 -6,-50 -10,-30 -12,-25 -15,-20$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-300=-301 -2-150=-152 -3-100=-103 -4-75=-79 -5-60=-65 -6-50=-56 -10-30=-40 -12-25=-37 -15-20=-35$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -35.

$$p=-20 q=-15$$

Перепишіть 25a^{2}-35a+12 як \left(25a^{2}-20a\right)+\left(-15a+12\right).

$$\left(25a^{2}-20a\right)+\left(-15a+12\right)$$

Винесіть за дужки 5a в першій і -3 у другій групі.

$$5a\left(5a-4\right)-3\left(5a-4\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 5a-4, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$25a^{2}-35a+12=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{\left(-35\right)^{2}-4\times 25\times 12}}{2\times 25}$$

Піднесіть -35 до квадрата.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-4\times 25\times 12}}{2\times 25}$$

Помножте -4 на 25.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-100\times 12}}{2\times 25}$$

Помножте -100 на 12.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-1200}}{2\times 25}$$

Додайте 1225 до -1200.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{25}}{2\times 25}$$

Видобудьте квадратний корінь із 25.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±5}{2\times 25}$$

Число, протилежне до -35, дорівнює 35.

$$a=\frac{35±5}{2\times 25}$$

Помножте 2 на 25.

$$a=\frac{35±5}{50}$$

Тепер розв’яжіть рівняння a=\frac{35±5}{50} за додатного значення ±. Додайте 35 до 5.

$$a=\frac{40}{50}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 10, щоб звести дріб \frac{40}{50} до нескоротного вигляду.

$$a=\frac{4}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння a=\frac{35±5}{50} за від’ємного значення ±. Відніміть 5 від 35.

$$a=\frac{30}{50}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 10, щоб звести дріб \frac{30}{50} до нескоротного вигляду.

$$a=\frac{3}{5}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{4}{5} на x_{1} та \frac{3}{5} на x_{2}.

$$25a^{2}-35a+12=25\left(a-\frac{4}{5}\right)\left(a-\frac{3}{5}\right)$$

Щоб відняти a від \frac{4}{5}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$25a^{2}-35a+12=25\times \frac{5a-4}{5}\left(a-\frac{3}{5}\right)$$

Щоб відняти a від \frac{3}{5}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$25a^{2}-35a+12=25\times \frac{5a-4}{5}\times \frac{5a-3}{5}$$

Щоб помножити \frac{5a-4}{5} на \frac{5a-3}{5}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$25a^{2}-35a+12=25\times \frac{\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)}{5\times 5}$$

Помножте 5 на 5.

$$25a^{2}-35a+12=25\times \frac{\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)}{25}$$

Відкиньте 25, тобто найбільший спільний дільник для 25 й 25.

$$25a^{2}-35a+12=\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)$$

Обчислити

$$\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)$$