Розв'яжіть +54x+sqrt{x}=75

$$+54x+ \sqrt{ x } = 75$$

Знайдіть x

$$x = \frac{8101 - \sqrt{16201}}{5832} \approx 1,3672354$$

Покрокове розв’язання

Відніміть 54x від обох сторін цього рівняння.

$$\sqrt{x}=75-54x$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(75-54x\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x} у степені 2 і отримайте x.

$$x=\left(75-54x\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(75-54x\right)^{2}.

$$x=5625-8100x+2916x^{2}$$

Відніміть 5625 з обох сторін.

$$x-5625=-8100x+2916x^{2}$$

Додайте 8100x до обох сторін.

$$x-5625+8100x=2916x^{2}$$

Додайте x до 8100x, щоб отримати 8101x.

$$8101x-5625=2916x^{2}$$

Відніміть 2916x^{2} з обох сторін.

$$8101x-5625-2916x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-2916x^{2}+8101x-5625=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -2916 замість a, 8101 замість b і -5625 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8101±\sqrt{8101^{2}-4\left(-2916\right)\left(-5625\right)}}{2\left(-2916\right)}$$

Піднесіть 8101 до квадрата.

$$x=\frac{-8101±\sqrt{65626201-4\left(-2916\right)\left(-5625\right)}}{2\left(-2916\right)}$$

Помножте -4 на -2916.

$$x=\frac{-8101±\sqrt{65626201+11664\left(-5625\right)}}{2\left(-2916\right)}$$

Помножте 11664 на -5625.

$$x=\frac{-8101±\sqrt{65626201-65610000}}{2\left(-2916\right)}$$

Додайте 65626201 до -65610000.

$$x=\frac{-8101±\sqrt{16201}}{2\left(-2916\right)}$$

Помножте 2 на -2916.

$$x=\frac{-8101±\sqrt{16201}}{-5832}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-8101±\sqrt{16201}}{-5832} за додатного значення ±. Додайте -8101 до \sqrt{16201}.

$$x=\frac{\sqrt{16201}-8101}{-5832}$$

Розділіть -8101+\sqrt{16201} на -5832.

$$x=\frac{8101-\sqrt{16201}}{5832}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-8101±\sqrt{16201}}{-5832} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{16201} від -8101.

$$x=\frac{-\sqrt{16201}-8101}{-5832}$$

Розділіть -8101-\sqrt{16201} на -5832.

$$x=\frac{\sqrt{16201}+8101}{5832}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{8101-\sqrt{16201}}{5832} x=\frac{\sqrt{16201}+8101}{5832}$$

Підставте \frac{8101-\sqrt{16201}}{5832} замість x в іншому рівнянні: 54x+\sqrt{x}=75.

$$54\times \frac{8101-\sqrt{16201}}{5832}+\sqrt{\frac{8101-\sqrt{16201}}{5832}}=75$$

Спростіть. Значення x=\frac{8101-\sqrt{16201}}{5832} задовольняє рівнянню.

$$75=75$$

Підставте \frac{\sqrt{16201}+8101}{5832} замість x в іншому рівнянні: 54x+\sqrt{x}=75.

$$54\times \frac{\sqrt{16201}+8101}{5832}+\sqrt{\frac{\sqrt{16201}+8101}{5832}}=75$$

Спростіть. Значення x=\frac{\sqrt{16201}+8101}{5832} не відповідає рівняння.

$$\frac{1}{54}\times 16201^{\frac{1}{2}}+\frac{4051}{54}=75$$

Рівняння \sqrt{x}=75-54x має один розв’язок.

$$x=\frac{8101-\sqrt{16201}}{5832}$$