7x^2+4x+1=0 хәл итегез

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

x өчен чишелеш (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0.285714286+0.24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0.285714286-0.24743583i$$

Квадрат формуласын куллану адымнары

ax^{2}+bx+c=0 формадагы барлык тигезләмәләр түбәндәге квадрат формуласын кулланып чишелергә мөмкин: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадрат формуласы ике чишелеш бирә, берсендә ± кушу һәм берсендә алу булганда.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Әлеге тигезләмә стандарт формасында: ax^{2}+bx+c=0. Квадрат формуласында 7'ны a'га, 4'ны b'га һәм 1'ны c'га алыштырыгыз, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

4 квадратын табыгыз.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

-4'ны 7 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

16'ны -28'га өстәгез.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

-12'нан квадрат тамырын чыгартыгыз.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

2'ны 7 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

Хәзер ± плюс булганда, x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} тигезләмәсен чишегез. -4'ны 2i\sqrt{3}'га өстәгез.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

-4+2i\sqrt{3}'ны 14'га бүлегез.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

Хәзер ± минус булганда, x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} тигезләмәсен чишегез. 2i\sqrt{3}'ны -4'нан алыгыз.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

-4-2i\sqrt{3}'ны 14'га бүлегез.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Тигезләмә хәзер чишелгән.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Квадратны тәмамлау адымнары

Мондый квадрат тигезләмәләрне квадратны тәмамлап чишәргә мөмкин. Квадратны тәмамлау өчен, тигезләмә башта x^{2}+bx=c формасында булырга тиеш.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 1 алыгыз.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

1'ны үзеннән алу 0 калдыра.

$$7x^{2}+4x=-1$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

7'га бүлү 7'га тапкырлауны кире кага.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

\frac{2}{7}-не алу өчен, \frac{4}{7} — x элементының коэффициентын — 2-гә бүлегез. Аннары \frac{2}{7}'ның квадратын тигезләмәнең ике ягына өстәгез. Бу адым тигезләмәнең сул ягын идеаль квадрат итә.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Вакланманың санаучысын һәм ваклаучысын квадратлап, \frac{2}{7} квадратын табыгыз.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, -\frac{1}{7}'ны \frac{4}{49}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49} тапкырлаучыларга таратыгыз. Гомуми очракта, x^{2}+bx+c идеаль квадрат булганда, ул һәрвакыт \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} буларак вакланырга мөмкин.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

Тигезләмәнең ике ягыннан квадрат тамырын чыгарту.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

Гадиләштерегез.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{2}{7} алыгыз.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$