{8x+2y=46}{7x+3y=47} хәл итегез

$$\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4.4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5.4$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$8x+2y=46$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2y алыгыз.

$$8x=-2y+46$$

Ике якны 8-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

\frac{1}{8}'ны -2y+46 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-y+23}{4} куегыз, 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

7'ны \frac{-y+23}{4} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

-\frac{7y}{4}'ны 3y'га өстәгез.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{161}{4} алыгыз.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{5}{4} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{27}{5}$$

\frac{27}{5}'ны y өчен x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{1}{4}'ны \frac{27}{5} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{23}{4}'ны -\frac{27}{20}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{22}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

8x һәм 7x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 7'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 8'га тапкырлагыз.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Гадиләштерегез.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 56x+24y=376'ны 56x+14y=322'нан алыгыз.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

56x'ны -56x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 56x һәм -56x шартлар кыскартылган.

$$14y-24y=322-376$$

14y'ны -24y'га өстәгез.

$$-10y=322-376$$

322'ны -376'га өстәгез.

$$-10y=-54$$

Ике якны -10-га бүлегез.

$$y=\frac{27}{5}$$

\frac{27}{5}'ны y өчен 7x+3y=47'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

3'ны \frac{27}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{81}{5} алыгыз.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$x=\frac{22}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$