4x-5y=-14text{and}7x+y=-5 хәл итегез

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-1$$

$$y=2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x-5y=-14$$

Тигезләмәнең ике ягына 5y өстәгез.

$$4x=5y-14$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

\frac{1}{4}'ны 5y-14 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} куегыз, 7x+y=-5.

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

7'ны \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

\frac{35y}{4}'ны y'га өстәгез.

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{49}{2} өстәгез.

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{39}{4} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

\frac{5}{4}'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{5-7}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, -\frac{7}{2}'ны \frac{5}{2}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-1,y=2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-1,y=2$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

4x һәм 7x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 7'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

Гадиләштерегез.

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 28x+4y=-20'ны 28x-35y=-98'нан алыгыз.

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

28x'ны -28x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 28x һәм -28x шартлар кыскартылган.

$$-35y-4y=-98+20$$

-35y'ны -4y'га өстәгез.

$$-39y=-98+20$$

-98'ны 20'га өстәгез.

$$-39y=-78$$

Ике якны -39-га бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен 7x+y=-5'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$7x+2=-5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2 алыгыз.

$$7x=-7$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$x=-1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-1,y=2$$