4x-3y=2text{and}x+5y=-11 хәл итегез

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x-3y=2$$

Тигезләмәнең ике ягына 3y өстәгез.

$$4x=3y+2$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

\frac{1}{4}'ны 3y+2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} куегыз, x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

\frac{3y}{4}'ны 5y'га өстәгез.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{1}{2} алыгыз.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{23}{4} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-2$$

-2'ны y өчен x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

\frac{3}{4}'ны -2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{1}{2}'ны -\frac{3}{2}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-1,y=-2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-1,y=-2$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

4x һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Гадиләштерегез.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 4x+20y=-44'ны 4x-3y=2'нан алыгыз.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

4x'ны -4x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 4x һәм -4x шартлар кыскартылган.

$$-3y-20y=2+44$$

-3y'ны -20y'га өстәгез.

$$-23y=2+44$$

2'ны 44'га өстәгез.

$$-23y=46$$

Ике якны -23-га бүлегез.

$$y=-2$$

-2'ны y өчен x+5y=-11'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

5'ны -2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x-10=-11$$

Тигезләмәнең ике ягына 10 өстәгез.

$$x=-1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-1,y=-2$$