4x^2+4x+9=0 хәл итегез

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

x өчен чишелеш (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0.5+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0.5-1.414213562i$$

Квадрат формуласын куллану адымнары

ax^{2}+bx+c=0 формадагы барлык тигезләмәләр түбәндәге квадрат формуласын кулланып чишелергә мөмкин: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадрат формуласы ике чишелеш бирә, берсендә ± кушу һәм берсендә алу булганда.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Әлеге тигезләмә стандарт формасында: ax^{2}+bx+c=0. Квадрат формуласында 4'ны a'га, 4'ны b'га һәм 9'ны c'га алыштырыгыз, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

4 квадратын табыгыз.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

-4'ны 4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

-16'ны 9 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

16'ны -144'га өстәгез.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

-128'нан квадрат тамырын чыгартыгыз.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

2'ны 4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Хәзер ± плюс булганда, x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} тигезләмәсен чишегез. -4'ны 8i\sqrt{2}'га өстәгез.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

-4+2i\times 2^{\frac{5}{2}}'ны 8'га бүлегез.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Хәзер ± минус булганда, x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} тигезләмәсен чишегез. 8i\sqrt{2}'ны -4'нан алыгыз.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

-4-2i\times 2^{\frac{5}{2}}'ны 8'га бүлегез.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Тигезләмә хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Квадратны тәмамлау адымнары

Мондый квадрат тигезләмәләрне квадратны тәмамлап чишәргә мөмкин. Квадратны тәмамлау өчен, тигезләмә башта x^{2}+bx=c формасында булырга тиеш.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 9 алыгыз.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

9'ны үзеннән алу 0 калдыра.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

4'га бүлү 4'га тапкырлауны кире кага.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

4'ны 4'га бүлегез.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

\frac{1}{2}-не алу өчен, 1 — x элементының коэффициентын — 2-гә бүлегез. Аннары \frac{1}{2}'ның квадратын тигезләмәнең ике ягына өстәгез. Бу адым тигезләмәнең сул ягын идеаль квадрат итә.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Вакланманың санаучысын һәм ваклаучысын квадратлап, \frac{1}{2} квадратын табыгыз.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, -\frac{9}{4}'ны \frac{1}{4}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

x^{2}+x+\frac{1}{4} тапкырлаучыларга таратыгыз. Гомуми очракта, x^{2}+bx+c идеаль квадрат булганда, ул һәрвакыт \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} буларак вакланырга мөмкин.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Тигезләмәнең ике ягыннан квадрат тамырын чыгарту.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Гадиләштерегез.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{1}{2} алыгыз.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$