3x-5y=4;9x-2y=7 хәл итегез

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{9}{13}\approx 0.692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0.384615385$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x-5y=4$$

Тигезләмәнең ике ягына 5y өстәгез.

$$3x=5y+4$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

\frac{1}{3}'ны 5y+4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{5y+4}{3} куегыз, 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

9'ны \frac{5y+4}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$15y+12-2y=7$$

15y'ны -2y'га өстәгез.

$$13y+12=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 12 алыгыз.

$$13y=-5$$

Ике якны 13-га бүлегез.

$$y=-\frac{5}{13}$$

-\frac{5}{13}'ны y өчен x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{5}{3}'ны -\frac{5}{13} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{4}{3}'ны -\frac{25}{39}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{9}{13}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

3x һәм 9x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 9'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Гадиләштерегез.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 27x-6y=21'ны 27x-45y=36'нан алыгыз.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

27x'ны -27x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 27x һәм -27x шартлар кыскартылган.

$$-45y+6y=36-21$$

-45y'ны 6y'га өстәгез.

$$-39y=36-21$$

36'ны -21'га өстәгез.

$$-39y=15$$

Ике якны -39-га бүлегез.

$$y=-\frac{5}{13}$$

-\frac{5}{13}'ны y өчен 9x-2y=7'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

-2'ны -\frac{5}{13} тапкыр тапкырлагыз.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{10}{13} алыгыз.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Ике якны 9-га бүлегез.

$$x=\frac{9}{13}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$