3x-2y=14text{and}2x+2y=6 хәл итегез

$$3 x - 2 y = 14 \text { and } 2 x + 2 y = 6$$

x, y өчен чишелеш

$$x=4$$

$$y=-1$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x-2y=14,2x+2y=6$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x-2y=14$$

Тигезләмәнең ике ягына 2y өстәгез.

$$3x=2y+14$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+14\right)$$

\frac{1}{3}'ны 14+2y тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{14}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{14+2y}{3} куегыз, 2x+2y=6.

$$2\left(\frac{2}{3}y+\frac{14}{3}\right)+2y=6$$

2'ны \frac{14+2y}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}+2y=6$$

\frac{4y}{3}'ны 2y'га өстәгез.

$$\frac{10}{3}y+\frac{28}{3}=6$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{28}{3} алыгыз.

$$\frac{10}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{10}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-1$$

-1'ны y өчен x=\frac{2}{3}y+\frac{14}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{14}{3}$$

\frac{2}{3}'ны -1 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-2+14}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{14}{3}'ны -\frac{2}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=4$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=4,y=-1$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x-2y=14,2x+2y=6$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 14+\frac{1}{5}\times 6\\-\frac{1}{5}\times 14+\frac{3}{10}\times 6\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=4,y=-1$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x-2y=14,2x+2y=6$$

3x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 14,3\times 2x+3\times 2y=3\times 6$$

Гадиләштерегез.

$$6x-4y=28,6x+6y=18$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6x+6y=18'ны 6x-4y=28'нан алыгыз.

$$6x-6x-4y-6y=28-18$$

6x'ны -6x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6x һәм -6x шартлар кыскартылган.

$$-4y-6y=28-18$$

-4y'ны -6y'га өстәгез.

$$-10y=28-18$$

28'ны -18'га өстәгез.

$$-10y=10$$

Ике якны -10-га бүлегез.

$$y=-1$$

-1'ны y өчен 2x+2y=6'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x+2\left(-1\right)=6$$

2'ны -1 тапкыр тапкырлагыз.

$$2x-2=6$$

Тигезләмәнең ике ягына 2 өстәгез.

$$2x=8$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=4$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=4,y=-1$$