3x^2+2x+1=0 хәл итегез

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

x өчен чишелеш (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0.333333333+0.471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0.333333333-0.471404521i$$

Квадрат формуласын куллану адымнары

ax^{2}+bx+c=0 формадагы барлык тигезләмәләр түбәндәге квадрат формуласын кулланып чишелергә мөмкин: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадрат формуласы ике чишелеш бирә, берсендә ± кушу һәм берсендә алу булганда.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Әлеге тигезләмә стандарт формасында: ax^{2}+bx+c=0. Квадрат формуласында 3'ны a'га, 2'ны b'га һәм 1'ны c'га алыштырыгыз, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

2 квадратын табыгыз.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

-4'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

4'ны -12'га өстәгез.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

-8'нан квадрат тамырын чыгартыгыз.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

2'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Хәзер ± плюс булганда, x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} тигезләмәсен чишегез. -2'ны 2i\sqrt{2}'га өстәгез.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

-2+2i\sqrt{2}'ны 6'га бүлегез.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Хәзер ± минус булганда, x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} тигезләмәсен чишегез. 2i\sqrt{2}'ны -2'нан алыгыз.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

-2-2i\sqrt{2}'ны 6'га бүлегез.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Тигезләмә хәзер чишелгән.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Квадратны тәмамлау адымнары

Мондый квадрат тигезләмәләрне квадратны тәмамлап чишәргә мөмкин. Квадратны тәмамлау өчен, тигезләмә башта x^{2}+bx=c формасында булырга тиеш.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 1 алыгыз.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

1'ны үзеннән алу 0 калдыра.

$$3x^{2}+2x=-1$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

3'га бүлү 3'га тапкырлауны кире кага.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

\frac{1}{3}-не алу өчен, \frac{2}{3} — x элементының коэффициентын — 2-гә бүлегез. Аннары \frac{1}{3}'ның квадратын тигезләмәнең ике ягына өстәгез. Бу адым тигезләмәнең сул ягын идеаль квадрат итә.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Вакланманың санаучысын һәм ваклаучысын квадратлап, \frac{1}{3} квадратын табыгыз.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, -\frac{1}{3}'ны \frac{1}{9}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} тапкырлаучыларга таратыгыз. Гомуми очракта, x^{2}+bx+c идеаль квадрат булганда, ул һәрвакыт \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} буларак вакланырга мөмкин.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Тигезләмәнең ике ягыннан квадрат тамырын чыгарту.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Гадиләштерегез.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{1}{3} алыгыз.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$