3x+5y=8text{and}x-2y=-1 хәл итегез

$$3 x + 5 y = 8 \text { and } x - 2 y = - 1$$

x, y өчен чишелеш

$$x=1$$

$$y=1$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+5y=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5y алыгыз.

$$3x=-5y+8$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+8\right)$$

\frac{1}{3}'ны -5y+8 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-5y+8}{3} куегыз, x-2y=-1.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}-2y=-1$$

-\frac{5y}{3}'ны -2y'га өстәгез.

$$-\frac{11}{3}y+\frac{8}{3}=-1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{8}{3} алыгыз.

$$-\frac{11}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{11}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=1$$

1'ны y өчен x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{-5+8}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{8}{3}'ны -\frac{5}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1,y=1$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-2\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{5}{11}\left(-1\right)\\\frac{1}{11}\times 8-\frac{3}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=1,y=1$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

3x һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$3x+5y=8,3x+3\left(-2\right)y=3\left(-1\right)$$

Гадиләштерегез.

$$3x+5y=8,3x-6y=-3$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 3x-6y=-3'ны 3x+5y=8'нан алыгыз.

$$3x-3x+5y+6y=8+3$$

3x'ны -3x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 3x һәм -3x шартлар кыскартылган.

$$5y+6y=8+3$$

5y'ны 6y'га өстәгез.

$$11y=8+3$$

8'ны 3'га өстәгез.

$$11y=11$$

Ике якны 11-га бүлегез.

$$y=1$$

1'ны y өчен x-2y=-1'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x-2=-1$$

Тигезләмәнең ике ягына 2 өстәгез.

$$x=1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1,y=1$$