3x+2y=8text{and}5x-4y=6 хәл итегез

$$3 x + 2 y = 8 \text { and } 5 x - 4 y = 6$$

x, y өчен чишелеш

$$x=2$$

$$y=1$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+2y=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2y алыгыз.

$$3x=-2y+8$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

\frac{1}{3}'ны -2y+8 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-2y+8}{3} куегыз, 5x-4y=6.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)-4y=6$$

5'ны \frac{-2y+8}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}-4y=6$$

-\frac{10y}{3}'ны -4y'га өстәгез.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{40}{3}=6$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{40}{3} алыгыз.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{22}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{22}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=1$$

1'ны y өчен x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{8}{3}'ны -\frac{2}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=1$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{5}{22}\times 8-\frac{3}{22}\times 6\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=2,y=1$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

3x һәм 5x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 8,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

Гадиләштерегез.

$$15x+10y=40,15x-12y=18$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 15x-12y=18'ны 15x+10y=40'нан алыгыз.

$$15x-15x+10y+12y=40-18$$

15x'ны -15x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 15x һәм -15x шартлар кыскартылган.

$$10y+12y=40-18$$

10y'ны 12y'га өстәгез.

$$22y=40-18$$

40'ны -18'га өстәгез.

$$22y=22$$

Ике якны 22-га бүлегез.

$$y=1$$

1'ны y өчен 5x-4y=6'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$5x-4=6$$

Тигезләмәнең ике ягына 4 өстәгез.

$$5x=10$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=1$$