3x+2y=12,12=9x-2y хәл итегез

$$3 x + 2 y = 12,12 = 9 x - 2 y$$

x, y өчен чишелеш

$$x=2$$

$$y=3$$

Алыштыруны куллану адымнары

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. Барлык алмашынучан элементлар сул ягында булсын өчен, якларны алыштырыгыз.

$$9x-2y=12$$

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+2y=12,9x-2y=12$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+2y=12$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2y алыгыз.

$$3x=-2y+12$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+12\right)$$

\frac{1}{3}'ны -2y+12 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{2}{3}y+4$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{2y}{3}+4 куегыз, 9x-2y=12.

$$9\left(-\frac{2}{3}y+4\right)-2y=12$$

9'ны -\frac{2y}{3}+4 тапкыр тапкырлагыз.

$$-6y+36-2y=12$$

-6y'ны -2y'га өстәгез.

$$-8y+36=12$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 36 алыгыз.

$$-8y=-24$$

Ике якны -8-га бүлегез.

$$y=3$$

3'ны y өчен x=-\frac{2}{3}y+4'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times 3+4$$

-\frac{2}{3}'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-2+4$$

4'ны -2'га өстәгез.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=3$$

Матрицаларны куллану адымнары

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. Барлык алмашынучан элементлар сул ягында булсын өчен, якларны алыштырыгыз.

$$9x-2y=12$$

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+2y=12,9x-2y=12$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 9}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-2\times 9}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 12+\frac{1}{12}\times 12\\\frac{3}{8}\times 12-\frac{1}{8}\times 12\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=2,y=3$$

Бетерүне куллану адымнары

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. Барлык алмашынучан элементлар сул ягында булсын өчен, якларны алыштырыгыз.

$$9x-2y=12$$

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+2y=12,9x-2y=12$$

3x һәм 9x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 9'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$9\times 3x+9\times 2y=9\times 12,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Гадиләштерегез.

$$27x+18y=108,27x-6y=36$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 27x-6y=36'ны 27x+18y=108'нан алыгыз.

$$27x-27x+18y+6y=108-36$$

27x'ны -27x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 27x һәм -27x шартлар кыскартылган.

$$18y+6y=108-36$$

18y'ны 6y'га өстәгез.

$$24y=108-36$$

108'ны -36'га өстәгез.

$$24y=72$$

Ике якны 24-га бүлегез.

$$y=3$$

3'ны y өчен 9x-2y=12'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$9x-2\times 3=12$$

-2'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$9x-6=12$$

Тигезләмәнең ике ягына 6 өстәгез.

$$9x=18$$

Ике якны 9-га бүлегез.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=3$$