3x+10y=102,3x+1y=84 хәл итегез

$$3 x + 10 y = 102,3 x + 1 y = 84$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{82}{3} = 27\frac{1}{3} \approx 27.333333333$$

$$y=2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+10y=102$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 10y алыгыз.

$$3x=-10y+102$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+102\right)$$

\frac{1}{3}'ны -10y+102 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{10}{3}y+34$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{10y}{3}+34 куегыз, 3x+y=84.

$$3\left(-\frac{10}{3}y+34\right)+y=84$$

3'ны -\frac{10y}{3}+34 тапкыр тапкырлагыз.

$$-10y+102+y=84$$

-10y'ны y'га өстәгез.

$$-9y+102=84$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 102 алыгыз.

$$-9y=-18$$

Ике якны -9-га бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен x=-\frac{10}{3}y+34'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+34$$

-\frac{10}{3}'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{20}{3}+34$$

34'ны -\frac{20}{3}'га өстәгез.

$$x=\frac{82}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-10\times 3}&-\frac{10}{3-10\times 3}\\-\frac{3}{3-10\times 3}&\frac{3}{3-10\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}&\frac{10}{27}\\\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}\times 102+\frac{10}{27}\times 84\\\frac{1}{9}\times 102-\frac{1}{9}\times 84\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{82}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 3x+y=84'ны 3x+10y=102'нан алыгыз.

$$3x-3x+10y-y=102-84$$

3x'ны -3x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 3x һәм -3x шартлар кыскартылган.

$$10y-y=102-84$$

10y'ны -y'га өстәгез.

$$9y=102-84$$

102'ны -84'га өстәгез.

$$9y=18$$

Ике якны 9-га бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен 3x+y=84'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x+2=84$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2 алыгыз.

$$3x=82$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{82}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$