3x^2+4x+7=0 хәл итегез

$$3 { x }^{ 2 } +4x+7=0$$

x өчен чишелеш (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{17}i}{3}\approx -0.666666667+1.374368542i$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-2}{3}\approx -0.666666667-1.374368542i$$

Квадрат формуласын куллану адымнары

ax^{2}+bx+c=0 формадагы барлык тигезләмәләр түбәндәге квадрат формуласын кулланып чишелергә мөмкин: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадрат формуласы ике чишелеш бирә, берсендә ± кушу һәм берсендә алу булганда.

$$3x^{2}+4x+7=0$$

Әлеге тигезләмә стандарт формасында: ax^{2}+bx+c=0. Квадрат формуласында 3'ны a'га, 4'ны b'га һәм 7'ны c'га алыштырыгыз, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

4 квадратын табыгыз.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

-4'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\times 7}}{2\times 3}$$

-12'ны 7 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-84}}{2\times 3}$$

16'ны -84'га өстәгез.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-68}}{2\times 3}$$

-68'нан квадрат тамырын чыгартыгыз.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{17}i}{2\times 3}$$

2'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{17}i}{6}$$

Хәзер ± плюс булганда, x=\frac{-4±2\sqrt{17}i}{6} тигезләмәсен чишегез. -4'ны 2i\sqrt{17}'га өстәгез.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{17}i}{6}$$

-4+2i\sqrt{17}'ны 6'га бүлегез.

$$x=\frac{-2+\sqrt{17}i}{3}$$

Хәзер ± минус булганда, x=\frac{-4±2\sqrt{17}i}{6} тигезләмәсен чишегез. 2i\sqrt{17}'ны -4'нан алыгыз.

$$x=\frac{-2\sqrt{17}i-4}{6}$$

-4-2i\sqrt{17}'ны 6'га бүлегез.

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-2}{3}$$

Тигезләмә хәзер чишелгән.

$$x=\frac{-2+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-2}{3}$$

Квадратны тәмамлау адымнары

Мондый квадрат тигезләмәләрне квадратны тәмамлап чишәргә мөмкин. Квадратны тәмамлау өчен, тигезләмә башта x^{2}+bx=c формасында булырга тиеш.

$$3x^{2}+4x+7=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 7 алыгыз.

$$3x^{2}+4x+7-7=-7$$

7'ны үзеннән алу 0 калдыра.

$$3x^{2}+4x=-7$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{7}{3}$$

3'га бүлү 3'га тапкырлауны кире кага.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{7}{3}$$

\frac{2}{3}-не алу өчен, \frac{4}{3} — x элементының коэффициентын — 2-гә бүлегез. Аннары \frac{2}{3}'ның квадратын тигезләмәнең ике ягына өстәгез. Бу адым тигезләмәнең сул ягын идеаль квадрат итә.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Вакланманың санаучысын һәм ваклаучысын квадратлап, \frac{2}{3} квадратын табыгыз.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{4}{9}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, -\frac{7}{3}'ны \frac{4}{9}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{17}{9}$$

x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} тапкырлаучыларга таратыгыз. Гомуми очракта, x^{2}+bx+c идеаль квадрат булганда, ул һәрвакыт \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} буларак вакланырга мөмкин.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{17}{9}$$

Тигезләмәнең ике ягыннан квадрат тамырын чыгарту.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{9}}$$

Гадиләштерегез.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{17}i}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{17}i}{3}$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{2}{3} алыгыз.

$$x=\frac{-2+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-2}{3}$$