2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0 хәл итегез

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3.230769231$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x-3y+10=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 10 алыгыз.

$$2x-3y=-10$$

Тигезләмәнең ике ягына 3y өстәгез.

$$2x=3y-10$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

\frac{1}{2}'ны 3y-10 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{3y}{2}-5 куегыз, 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

5'ны \frac{3y}{2}-5 тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

\frac{15y}{2}'ны -y'га өстәгез.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

-25'ны 4'га өстәгез.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Тигезләмәнең ике ягына 21 өстәгез.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{13}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{42}{13}$$

\frac{42}{13}'ны y өчен x=\frac{3}{2}y-5'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{3}{2}'ны \frac{42}{13} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

-5'ны \frac{63}{13}'га өстәгез.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

2x һәм 5x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Гадиләштерегез.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 10x-2y+8=0'ны 10x-15y+50=0'нан алыгыз.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

10x'ны -10x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 10x һәм -10x шартлар кыскартылган.

$$-15y+2y+50-8=0$$

-15y'ны 2y'га өстәгез.

$$-13y+50-8=0$$

50'ны -8'га өстәгез.

$$-13y+42=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 42 алыгыз.

$$-13y=-42$$

Ике якны -13-га бүлегез.

$$y=\frac{42}{13}$$

\frac{42}{13}'ны y өчен 5x-y+4=0'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

-\frac{42}{13}'ны 4'га өстәгез.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{10}{13} алыгыз.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$