12r^2-11r-15=0 хәл итегез

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

r өчен чишелеш

$$r=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Төркемләп тапкырлауны куллану адымнары

Тигезләмәне чишү өчен, сул өлешне төркемләп тапкырлагыз. Беренчедән, сул өлешне 12r^{2}+ar+br-15 буларак яңадан язарга кирәк. a һәм b табу өчен, системаны чишү өчен көйләгез.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

ab тискәре булгач, a һәм b тамгачыгы капма-каршы. a+b тискәре булгач, тискәре санның абсолют кыйммәте уңай санныкыннан зуррак. -180 продуктын бирүче андый һәр парларны күрсәтегез.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Һәр пар өчен сумманы исәпләү.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Чишелеш - -11 бирүче пар.

$$a=-20 b=9$$

12r^{2}-11r-15-ны \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right) буларак яңадан языгыз.

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

4r беренче һәм 3 икенче төркемдә тапкырлау.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

Булу үзлеген кулланып, 3r-5 гомуми шартны чыгартыгыз.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

Тигезләмә чишелешләрен табу өчен, 3r-5=0 һәм 4r+3=0 чишегез.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Квадрат формуласын куллану адымнары

ax^{2}+bx+c=0 формадагы барлык тигезләмәләр түбәндәге квадрат формуласын кулланып чишелергә мөмкин: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадрат формуласы ике чишелеш бирә, берсендә ± кушу һәм берсендә алу булганда.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Әлеге тигезләмә стандарт формасында: ax^{2}+bx+c=0. Квадрат формуласында 12'ны a'га, -11'ны b'га һәм -15'ны c'га алыштырыгыз, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-11 квадратын табыгыз.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-4'ны 12 тапкыр тапкырлагыз.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-48'ны -15 тапкыр тапкырлагыз.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

121'ны 720'га өстәгез.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

841'нан квадрат тамырын чыгартыгыз.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

-11 санның капма-каршысы - 11.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

2'ны 12 тапкыр тапкырлагыз.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

Хәзер ± плюс булганда, r=\frac{11±29}{24} тигезләмәсен чишегез. 11'ны 29'га өстәгез.

$$r=\frac{40}{24}$$

8 чыгартып һәм ташлап, \frac{40}{24} өлешен иң түбән буыннарга кадәр киметү.

$$r=\frac{5}{3}$$

Хәзер ± минус булганда, r=\frac{11±29}{24} тигезләмәсен чишегез. 29'ны 11'нан алыгыз.

$$r=-\frac{18}{24}$$

6 чыгартып һәм ташлап, \frac{-18}{24} өлешен иң түбән буыннарга кадәр киметү.

$$r=-\frac{3}{4}$$

Тигезләмә хәзер чишелгән.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Квадратны тәмамлау адымнары

Мондый квадрат тигезләмәләрне квадратны тәмамлап чишәргә мөмкин. Квадратны тәмамлау өчен, тигезләмә башта x^{2}+bx=c формасында булырга тиеш.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Тигезләмәнең ике ягына 15 өстәгез.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15'ны үзеннән алу 0 калдыра.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

-15'ны 0'нан алыгыз.

$$12r^{2}-11r=15$$

Ике якны 12-га бүлегез.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

12'га бүлү 12'га тапкырлауны кире кага.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

3 чыгартып һәм ташлап, \frac{15}{12} өлешен иң түбән буыннарга кадәр киметү.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

-\frac{11}{24}-не алу өчен, -\frac{11}{12} — x элементының коэффициентын — 2-гә бүлегез. Аннары -\frac{11}{24}'ның квадратын тигезләмәнең ике ягына өстәгез. Бу адым тигезләмәнең сул ягын идеаль квадрат итә.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Вакланманың санаучысын һәм ваклаучысын квадратлап, -\frac{11}{24} квадратын табыгыз.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{4}'ны \frac{121}{576}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576} тапкырлаучыларга таратыгыз. Гомуми очракта, x^{2}+bx+c идеаль квадрат булганда, ул һәрвакыт \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} буларак вакланырга мөмкин.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Тигезләмәнең ике ягыннан квадрат тамырын чыгарту.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Гадиләштерегез.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{11}{24} өстәгез.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$