{r}{8x+y=21}{24x-5y=23} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { r } { 8 x + y = 21 } \\ { 24 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=2$$

$$y=5$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$8x+y=21$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$8x=-y+21$$

Ике якны 8-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+21\right)$$

\frac{1}{8}'ны -y+21 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-y+21}{8} куегыз, 24x-5y=23.

$$24\left(-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}\right)-5y=23$$

24'ны \frac{-y+21}{8} тапкыр тапкырлагыз.

$$-3y+63-5y=23$$

-3y'ны -5y'га өстәгез.

$$-8y+63=23$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 63 алыгыз.

$$-8y=-40$$

Ике якны -8-га бүлегез.

$$y=5$$

5'ны y өчен x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{8}\times 5+\frac{21}{8}$$

-\frac{1}{8}'ны 5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-5+21}{8}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{21}{8}'ны -\frac{5}{8}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=5$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-24}&-\frac{1}{8\left(-5\right)-24}\\-\frac{24}{8\left(-5\right)-24}&\frac{8}{8\left(-5\right)-24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}\times 21+\frac{1}{64}\times 23\\\frac{3}{8}\times 21-\frac{1}{8}\times 23\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=2,y=5$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

8x һәм 24x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 24'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 8'га тапкырлагыз.

$$24\times 8x+24y=24\times 21,8\times 24x+8\left(-5\right)y=8\times 23$$

Гадиләштерегез.

$$192x+24y=504,192x-40y=184$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 192x-40y=184'ны 192x+24y=504'нан алыгыз.

$$192x-192x+24y+40y=504-184$$

192x'ны -192x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 192x һәм -192x шартлар кыскартылган.

$$24y+40y=504-184$$

24y'ны 40y'га өстәгез.

$$64y=504-184$$

504'ны -184'га өстәгез.

$$64y=320$$

Ике якны 64-га бүлегез.

$$y=5$$

5'ны y өчен 24x-5y=23'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$24x-5\times 5=23$$

-5'ны 5 тапкыр тапкырлагыз.

$$24x-25=23$$

Тигезләмәнең ике ягына 25 өстәгез.

$$24x=48$$

Ике якны 24-га бүлегез.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=5$$