{r}{5x+3y=11}{3x-4y=24} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x + 3 y = 11 } \\ { 3 x - 4 y = 24 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=4$$

$$y=-3$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x+3y=11,3x-4y=24$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x+3y=11$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$5x=-3y+11$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+11\right)$$

\frac{1}{5}'ны -3y+11 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-3y+11}{5} куегыз, 3x-4y=24.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}\right)-4y=24$$

3'ны \frac{-3y+11}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{9}{5}y+\frac{33}{5}-4y=24$$

-\frac{9y}{5}'ны -4y'га өстәгез.

$$-\frac{29}{5}y+\frac{33}{5}=24$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{33}{5} алыгыз.

$$-\frac{29}{5}y=\frac{87}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{29}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-3$$

-3'ны y өчен x=-\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{5}\left(-3\right)+\frac{11}{5}$$

-\frac{3}{5}'ны -3 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{9+11}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{11}{5}'ны \frac{9}{5}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=4$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=4,y=-3$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x+3y=11,3x-4y=24$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\3&-4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\24\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\24\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{3}{5\left(-4\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-4\right)-3\times 3}&\frac{5}{5\left(-4\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\24\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{3}{29}&-\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\24\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\times 11+\frac{3}{29}\times 24\\\frac{3}{29}\times 11-\frac{5}{29}\times 24\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=4,y=-3$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x+3y=11,3x-4y=24$$

5x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 11,5\times 3x+5\left(-4\right)y=5\times 24$$

Гадиләштерегез.

$$15x+9y=33,15x-20y=120$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 15x-20y=120'ны 15x+9y=33'нан алыгыз.

$$15x-15x+9y+20y=33-120$$

15x'ны -15x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 15x һәм -15x шартлар кыскартылган.

$$9y+20y=33-120$$

9y'ны 20y'га өстәгез.

$$29y=33-120$$

33'ны -120'га өстәгез.

$$29y=-87$$

Ике якны 29-га бүлегез.

$$y=-3$$

-3'ны y өчен 3x-4y=24'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x-4\left(-3\right)=24$$

-4'ны -3 тапкыр тапкырлагыз.

$$3x+12=24$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 12 алыгыз.

$$3x=12$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=4$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=4,y=-3$$