{r}{22x+3y=5}{3x+2y=70} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { r } { 22 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = -\frac{40}{7} = -5\frac{5}{7} \approx -5.714285714$$

$$y = \frac{305}{7} = 43\frac{4}{7} \approx 43.571428571$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$22x+3y=5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$22x=-3y+5$$

Ике якны 22-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{22}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{22}'ны -3y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-3y+5}{22} куегыз, 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}\right)+2y=70$$

3'ны \frac{-3y+5}{22} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{9}{22}y+\frac{15}{22}+2y=70$$

-\frac{9y}{22}'ны 2y'га өстәгез.

$$\frac{35}{22}y+\frac{15}{22}=70$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{15}{22} алыгыз.

$$\frac{35}{22}y=\frac{1525}{22}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{35}{22} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{305}{7}$$

\frac{305}{7}'ны y өчен x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{22}\times \frac{305}{7}+\frac{5}{22}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{22}'ны \frac{305}{7} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{915}{154}+\frac{5}{22}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{22}'ны -\frac{915}{154}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{40}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{22\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}&\frac{22}{22\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}&-\frac{3}{35}\\-\frac{3}{35}&\frac{22}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}\times 5-\frac{3}{35}\times 70\\-\frac{3}{35}\times 5+\frac{22}{35}\times 70\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{7}\\\frac{305}{7}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

22x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 22'га тапкырлагыз.

$$3\times 22x+3\times 3y=3\times 5,22\times 3x+22\times 2y=22\times 70$$

Гадиләштерегез.

$$66x+9y=15,66x+44y=1540$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 66x+44y=1540'ны 66x+9y=15'нан алыгыз.

$$66x-66x+9y-44y=15-1540$$

66x'ны -66x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 66x һәм -66x шартлар кыскартылган.

$$9y-44y=15-1540$$

9y'ны -44y'га өстәгез.

$$-35y=15-1540$$

15'ны -1540'га өстәгез.

$$-35y=-1525$$

Ике якны -35-га бүлегез.

$$y=\frac{305}{7}$$

\frac{305}{7}'ны y өчен 3x+2y=70'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x+2\times \frac{305}{7}=70$$

2'ны \frac{305}{7} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x+\frac{610}{7}=70$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{610}{7} алыгыз.

$$3x=-\frac{120}{7}$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=-\frac{40}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$