{r}{12x+3y=5}{3x+2y=7} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { r } { 12 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-\frac{11}{15}\approx -0.733333333$$

$$y = \frac{23}{5} = 4\frac{3}{5} = 4.6$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$12x+3y=5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$12x=-3y+5$$

Ике якны 12-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{12}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{12}'ны -3y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{y}{4}+\frac{5}{12} куегыз, 3x+2y=7.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}\right)+2y=7$$

3'ны -\frac{y}{4}+\frac{5}{12} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+2y=7$$

-\frac{3y}{4}'ны 2y'га өстәгез.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{5}{4} алыгыз.

$$\frac{5}{4}y=\frac{23}{4}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{5}{4} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{23}{5}$$

\frac{23}{5}'ны y өчен x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{23}{5}+\frac{5}{12}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{1}{4}'ны \frac{23}{5} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{23}{20}+\frac{5}{12}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{12}'ны -\frac{23}{20}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{11}{15}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{12\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}&\frac{12}{12\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\\\frac{23}{5}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

12x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 12'га тапкырлагыз.

$$3\times 12x+3\times 3y=3\times 5,12\times 3x+12\times 2y=12\times 7$$

Гадиләштерегез.

$$36x+9y=15,36x+24y=84$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 36x+24y=84'ны 36x+9y=15'нан алыгыз.

$$36x-36x+9y-24y=15-84$$

36x'ны -36x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 36x һәм -36x шартлар кыскартылган.

$$9y-24y=15-84$$

9y'ны -24y'га өстәгез.

$$-15y=15-84$$

15'ны -84'га өстәгез.

$$-15y=-69$$

Ике якны -15-га бүлегез.

$$y=\frac{23}{5}$$

\frac{23}{5}'ны y өчен 3x+2y=7'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x+2\times \frac{23}{5}=7$$

2'ны \frac{23}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x+\frac{46}{5}=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{46}{5} алыгыз.

$$3x=-\frac{11}{5}$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=-\frac{11}{15}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$