{l}{x+y=250}{x/19+y/10=19} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 250 } \\ { \frac { x } { 19 } + \frac { y } { 10 } = 19 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{380}{3} = 126\frac{2}{3} \approx 126.666666667$$

$$y = \frac{370}{3} = 123\frac{1}{3} \approx 123.333333333$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$x+y=250$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$x=-y+250$$

Башка тигезләмәдә x урынына -y+250 куегыз, \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19.

$$\frac{1}{19}\left(-y+250\right)+\frac{1}{10}y=19$$

\frac{1}{19}'ны -y+250 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{1}{19}y+\frac{250}{19}+\frac{1}{10}y=19$$

-\frac{y}{19}'ны \frac{y}{10}'га өстәгез.

$$\frac{9}{190}y+\frac{250}{19}=19$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{250}{19} алыгыз.

$$\frac{9}{190}y=\frac{111}{19}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{9}{190} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{370}{3}$$

\frac{370}{3}'ны y өчен x=-y+250'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{370}{3}+250$$

250'ны -\frac{370}{3}'га өстәгез.

$$x=\frac{380}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)2\times 2 матрица өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&-\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\\-\frac{\frac{1}{19}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}&-\frac{190}{9}\\-\frac{10}{9}&\frac{190}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}\times 250-\frac{190}{9}\times 19\\-\frac{10}{9}\times 250+\frac{190}{9}\times 19\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{380}{3}\\\frac{370}{3}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

x һәм \frac{x}{19} тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны \frac{1}{19}'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га тапкырлагыз.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{1}{19}\times 250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Гадиләштерегез.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19},\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19'ны \frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19}'нан алыгыз.

$$\frac{1}{19}x-\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

\frac{x}{19}'ны -\frac{x}{19}'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, \frac{x}{19} һәм -\frac{x}{19} шартлар кыскартылган.

$$\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

\frac{y}{19}'ны -\frac{y}{10}'га өстәгез.

$$-\frac{9}{190}y=\frac{250}{19}-19$$

\frac{250}{19}'ны -19'га өстәгез.

$$-\frac{9}{190}y=-\frac{111}{19}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{9}{190} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{370}{3}$$

\frac{370}{3}'ны y өчен \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}\times \frac{370}{3}=19$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{1}{10}'ны \frac{370}{3} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$\frac{1}{19}x+\frac{37}{3}=19$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{37}{3} алыгыз.

$$\frac{1}{19}x=\frac{20}{3}$$

Ике якны 19-га тапкырлагыз.

$$x=\frac{380}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$