{l}{x+y=100}{0.950x+0.820y=92.5} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 0.950 x + 0.820 y = 92.5 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{1050}{13} = 80\frac{10}{13} \approx 80.769230769$$

$$y = \frac{250}{13} = 19\frac{3}{13} \approx 19.230769231$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$x+y=100,0.95x+0.82y=92.5$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$x+y=100$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$x=-y+100$$

Башка тигезләмәдә x урынына -y+100 куегыз, 0.95x+0.82y=92.5.

$$0.95\left(-y+100\right)+0.82y=92.5$$

0.95'ны -y+100 тапкыр тапкырлагыз.

$$-0.95y+95+0.82y=92.5$$

-\frac{19y}{20}'ны \frac{41y}{50}'га өстәгез.

$$-0.13y+95=92.5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 95 алыгыз.

$$-0.13y=-2.5$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -0.13 тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{250}{13}$$

\frac{250}{13}'ны y өчен x=-y+100'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{250}{13}+100$$

100'ны -\frac{250}{13}'га өстәгез.

$$x=\frac{1050}{13}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{1050}{13},y=\frac{250}{13}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$x+y=100,0.95x+0.82y=92.5$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.82}{0.82-0.95}&-\frac{1}{0.82-0.95}\\-\frac{0.95}{0.82-0.95}&\frac{1}{0.82-0.95}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{82}{13}&\frac{100}{13}\\\frac{95}{13}&-\frac{100}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{82}{13}\times 100+\frac{100}{13}\times 92.5\\\frac{95}{13}\times 100-\frac{100}{13}\times 92.5\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1050}{13}\\\frac{250}{13}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{1050}{13},y=\frac{250}{13}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$x+y=100,0.95x+0.82y=92.5$$

x һәм \frac{19x}{20} тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 0.95'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га тапкырлагыз.

$$0.95x+0.95y=0.95\times 100,0.95x+0.82y=92.5$$

Гадиләштерегез.

$$0.95x+0.95y=95,0.95x+0.82y=92.5$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 0.95x+0.82y=92.5'ны 0.95x+0.95y=95'нан алыгыз.

$$0.95x-0.95x+0.95y-0.82y=95-92.5$$

\frac{19x}{20}'ны -\frac{19x}{20}'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, \frac{19x}{20} һәм -\frac{19x}{20} шартлар кыскартылган.

$$0.95y-0.82y=95-92.5$$

\frac{19y}{20}'ны -\frac{41y}{50}'га өстәгез.

$$0.13y=95-92.5$$

95'ны -92.5'га өстәгез.

$$0.13y=2.5$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган 0.13 тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{250}{13}$$

\frac{250}{13}'ны y өчен 0.95x+0.82y=92.5'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$0.95x+0.82\times \frac{250}{13}=92.5$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, 0.82'ны \frac{250}{13} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$0.95x+\frac{205}{13}=92.5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{205}{13} алыгыз.

$$0.95x=\frac{1995}{26}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган 0.95 тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$x=\frac{1050}{13}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{1050}{13},y=\frac{250}{13}$$