{l}{x+5y=1}{3x+4y=4} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 y = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$x+5y=1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5y алыгыз.

$$x=-5y+1$$

Башка тигезләмәдә x урынына -5y+1 куегыз, 3x+4y=4.

$$3\left(-5y+1\right)+4y=4$$

3'ны -5y+1 тапкыр тапкырлагыз.

$$-15y+3+4y=4$$

-15y'ны 4y'га өстәгез.

$$-11y+3=4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3 алыгыз.

$$-11y=1$$

Ике якны -11-га бүлегез.

$$y=-\frac{1}{11}$$

-\frac{1}{11}'ны y өчен x=-5y+1'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-5\left(-\frac{1}{11}\right)+1$$

-5'ны -\frac{1}{11} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{5}{11}+1$$

1'ны \frac{5}{11}'га өстәгез.

$$x=\frac{16}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)2\times 2 матрица өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-5\times 3}&-\frac{5}{4-5\times 3}\\-\frac{3}{4-5\times 3}&\frac{1}{4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}+\frac{5}{11}\times 4\\\frac{3}{11}-\frac{1}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га тапкырлагыз.

$$3x+3\times 5y=3,3x+4y=4$$

Гадиләштерегез.

$$3x+15y=3,3x+4y=4$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 3x+4y=4'ны 3x+15y=3'нан алыгыз.

$$3x-3x+15y-4y=3-4$$

3x'ны -3x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 3x һәм -3x шартлар кыскартылган.

$$15y-4y=3-4$$

15y'ны -4y'га өстәгез.

$$11y=3-4$$

3'ны -4'га өстәгез.

$$11y=-1$$

Ике якны 11-га бүлегез.

$$y=-\frac{1}{11}$$

-\frac{1}{11}'ны y өчен 3x+4y=4'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x+4\left(-\frac{1}{11}\right)=4$$

4'ны -\frac{1}{11} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x-\frac{4}{11}=4$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{4}{11} өстәгез.

$$3x=\frac{48}{11}$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{16}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$