{l}{x+2y=3}{5x-y=10} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 3 } \\ { 5 x - y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{23}{11} = 2\frac{1}{11} \approx 2.090909091$$

$$y=\frac{5}{11}\approx 0.454545455$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$x+2y=3,5x-y=10$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$x+2y=3$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2y алыгыз.

$$x=-2y+3$$

Башка тигезләмәдә x урынына -2y+3 куегыз, 5x-y=10.

$$5\left(-2y+3\right)-y=10$$

5'ны -2y+3 тапкыр тапкырлагыз.

$$-10y+15-y=10$$

-10y'ны -y'га өстәгез.

$$-11y+15=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 15 алыгыз.

$$-11y=-5$$

Ике якны -11-га бүлегез.

$$y=\frac{5}{11}$$

\frac{5}{11}'ны y өчен x=-2y+3'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-2\times \frac{5}{11}+3$$

-2'ны \frac{5}{11} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{10}{11}+3$$

3'ны -\frac{10}{11}'га өстәгез.

$$x=\frac{23}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{5}{11}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$x+2y=3,5x-y=10$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 5}&-\frac{2}{-1-2\times 5}\\-\frac{5}{-1-2\times 5}&\frac{1}{-1-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 3+\frac{2}{11}\times 10\\\frac{5}{11}\times 3-\frac{1}{11}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{11}\\\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{5}{11}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$x+2y=3,5x-y=10$$

x һәм 5x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га тапкырлагыз.

$$5x+5\times 2y=5\times 3,5x-y=10$$

Гадиләштерегез.

$$5x+10y=15,5x-y=10$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 5x-y=10'ны 5x+10y=15'нан алыгыз.

$$5x-5x+10y+y=15-10$$

5x'ны -5x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 5x һәм -5x шартлар кыскартылган.

$$10y+y=15-10$$

10y'ны y'га өстәгез.

$$11y=15-10$$

15'ны -10'га өстәгез.

$$11y=5$$

Ике якны 11-га бүлегез.

$$y=\frac{5}{11}$$

\frac{5}{11}'ны y өчен 5x-y=10'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$5x-\frac{5}{11}=10$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{5}{11} өстәгез.

$$5x=\frac{115}{11}$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{23}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{5}{11}$$