{l}{mx-y-3m+1=0}{x+my-3m-1=0} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { m x - y - 3 m + 1 = 0 } \\ { x + m y - 3 m - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш (complex solution)

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

$$m\neq -i\text{ and }m\neq i$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$mx-y+1-3m=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан -3m+1 алыгыз.

$$mx-y=3m-1$$

Тигезләмәнең ике ягына y өстәгез.

$$mx=y+3m-1$$

Ике якны m-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

\frac{1}{m}'ны y+3m-1 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{y-1+3m}{m} куегыз, x+my-3m-1=0.

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

\frac{y}{m}'ны my'га өстәгез.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

3-\frac{1}{m}'ны -3m-1'га өстәгез.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2-\frac{1}{m}-3m алыгыз.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

Ике якны m+\frac{1}{m}-га бүлегез.

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

\frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}'ны y өчен x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

\frac{1}{m}'ны \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

3-\frac{1}{m}'ны \frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)}'га өстәгез.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

mx һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны m'га тапкырлагыз.

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

Гадиләштерегез.

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0'ны mx-y+1-3m=0'нан алыгыз.

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

mx'ны -mx'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, mx һәм -mx шартлар кыскартылган.

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

-y'ны -m^{2}y'га өстәгез.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

-3m+1'ны m\left(3m+1\right)'га өстәгез.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан -2m+1+3m^{2} алыгыз.

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

Ике якны -1-m^{2}-га бүлегез.

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

-\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}'ны y өчен x+my-3m-1=0'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

m'ны -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} тапкыр тапкырлагыз.

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

-\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}}'ны -3m-1'га өстәгез.

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)}=0$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{2m+3m^{2}+1}{\left(m+i\right)\left(m-i\right)} өстәгез.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$mx-y+1-3m=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан -3m+1 алыгыз.

$$mx-y=3m-1$$

Тигезләмәнең ике ягына y өстәгез.

$$mx=y+3m-1$$

Ике якны m-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

\frac{1}{m}'ны y+3m-1 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{y-1+3m}{m} куегыз, x+my-3m-1=0.

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

\frac{y}{m}'ны my'га өстәгез.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

3-\frac{1}{m}'ны -3m-1'га өстәгез.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2-\frac{1}{m}-3m алыгыз.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

Ике якны m+\frac{1}{m}-га бүлегез.

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

\frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}'ны y өчен x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

\frac{1}{m}'ны \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

3-\frac{1}{m}'ны \frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)}'га өстәгез.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

mx һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны m'га тапкырлагыз.

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

Гадиләштерегез.

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0'ны mx-y+1-3m=0'нан алыгыз.

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

mx'ны -mx'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, mx һәм -mx шартлар кыскартылган.

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

-y'ны -m^{2}y'га өстәгез.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

-3m+1'ны m\left(3m+1\right)'га өстәгез.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан -2m+1+3m^{2} алыгыз.

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

Ике якны -1-m^{2}-га бүлегез.

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

-\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}'ны y өчен x+my-3m-1=0'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

m'ны -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} тапкыр тапкырлагыз.

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

-\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}}'ны -3m-1'га өстәгез.

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}=0$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{2m+3m^{2}+1}{1+m^{2}} өстәгез.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$