{l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш (complex solution)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

Алыштыруны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. y'ны ике яктан алыгыз.

$$fx-y=7$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. 9x'ны ике яктан алыгыз.

$$fy-9x=8$$

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$fx-y=7$$

Тигезләмәнең ике ягына y өстәгез.

$$fx=y+7$$

Ике якны f-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

\frac{1}{f}'ны y+7 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{7+y}{f} куегыз, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

-9'ны \frac{7+y}{f} тапкыр тапкырлагыз.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

-\frac{9y}{f}'ны fy'га өстәгез.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{63}{f} өстәгез.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

Ике якны f-\frac{9}{f}-га бүлегез.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

\frac{63+8f}{f^{2}-9}'ны y өчен x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

\frac{1}{f}'ны \frac{63+8f}{f^{2}-9} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

\frac{7}{f}'ны \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}'га өстәгез.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. y'ны ике яктан алыгыз.

$$fx-y=7$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. 9x'ны ике яктан алыгыз.

$$fy-9x=8$$

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Бетерүне куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. y'ны ике яктан алыгыз.

$$fx-y=7$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. 9x'ны ике яктан алыгыз.

$$fy-9x=8$$

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

fx һәм -9x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -9'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны f'га тапкырлагыз.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Гадиләштерегез.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f'ны \left(-9f\right)x+9y=-63'нан алыгыз.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-9fx'ны 9fx'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -9fx һәм 9fx шартлар кыскартылган.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

9y'ны -f^{2}y'га өстәгез.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-63'ны -8f'га өстәгез.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

Ике якны -f^{2}+9-га бүлегез.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

-\frac{63+8f}{9-f^{2}}'ны y өчен -9x+fy=8'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

f'ны -\frac{63+8f}{9-f^{2}} тапкыр тапкырлагыз.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} өстәгез.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Ике якны -9-га бүлегез.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

Алыштыруны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. y'ны ике яктан алыгыз.

$$fx-y=7$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. 9x'ны ике яктан алыгыз.

$$fy-9x=8$$

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$fx-y=7$$

Тигезләмәнең ике ягына y өстәгез.

$$fx=y+7$$

Ике якны f-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

\frac{1}{f}'ны y+7 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{7+y}{f} куегыз, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

-9'ны \frac{7+y}{f} тапкыр тапкырлагыз.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

-\frac{9y}{f}'ны fy'га өстәгез.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{63}{f} өстәгез.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

Ике якны f-\frac{9}{f}-га бүлегез.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

\frac{63+8f}{f^{2}-9}'ны y өчен x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

\frac{1}{f}'ны \frac{63+8f}{f^{2}-9} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

\frac{7}{f}'ны \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}'га өстәгез.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. y'ны ике яктан алыгыз.

$$fx-y=7$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. 9x'ны ике яктан алыгыз.

$$fy-9x=8$$

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Бетерүне куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. y'ны ике яктан алыгыз.

$$fx-y=7$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. 9x'ны ике яктан алыгыз.

$$fy-9x=8$$

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

fx һәм -9x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -9'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны f'га тапкырлагыз.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Гадиләштерегез.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f'ны \left(-9f\right)x+9y=-63'нан алыгыз.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-9fx'ны 9fx'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -9fx һәм 9fx шартлар кыскартылган.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

9y'ны -f^{2}y'га өстәгез.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-63'ны -8f'га өстәгез.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

Ике якны -f^{2}+9-га бүлегез.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

-\frac{63+8f}{9-f^{2}}'ны y өчен -9x+fy=8'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

f'ны -\frac{63+8f}{9-f^{2}} тапкыр тапкырлагыз.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} өстәгез.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Ике якны -9-га бүлегез.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$