{l}{cx+y=69}{2x+y=87} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { c x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29c\right)}{c-2}$$

$$c\neq 2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$cx+y=69$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$cx=-y+69$$

Ике якны c-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{c}\left(-y+69\right)$$

\frac{1}{c}'ны -y+69 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{69-y}{c} куегыз, 2x+y=87.

$$2\left(\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}\right)+y=87$$

2'ны \frac{69-y}{c} тапкыр тапкырлагыз.

$$\left(-\frac{2}{c}\right)y+\frac{138}{c}+y=87$$

-\frac{2y}{c}'ны y'га өстәгез.

$$\frac{c-2}{c}y+\frac{138}{c}=87$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{138}{c} алыгыз.

$$\frac{c-2}{c}y=87-\frac{138}{c}$$

Ике якны \frac{-2+c}{c}-га бүлегез.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

\frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c}'ны y өчен x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)\times \frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}+\frac{69}{c}$$

-\frac{1}{c}'ны \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3\left(29c-46\right)}{c\left(c-2\right)}+\frac{69}{c}$$

\frac{69}{c}'ны -\frac{3\left(-46+29c\right)}{c\left(-2+c\right)}'га өстәгез.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}&-\frac{1}{c-2}\\-\frac{2}{c-2}&\frac{c}{c-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}\times 69+\left(-\frac{1}{c-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{c-2}\right)\times 69+\frac{c}{c-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{c-2}\\\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 2x+y=87'ны cx+y=69'нан алыгыз.

$$cx-2x+y-y=69-87$$

y'ны -y'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, y һәм -y шартлар кыскартылган.

$$cx-2x=69-87$$

cx'ны -2x'га өстәгез.

$$\left(c-2\right)x=69-87$$

69'ны -87'га өстәгез.

$$\left(c-2\right)x=-18$$

Ике якны c-2-га бүлегез.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

-\frac{18}{c-2}'ны x өчен 2x+y=87'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры y өчен чишә аласыз.

$$2\left(-\frac{18}{c-2}\right)+y=87$$

2'ны -\frac{18}{c-2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{36}{c-2}+y=87$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{36}{c-2} өстәгез.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$