{l}{ax+by=c}{a^2x+b^2y=c} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { a x + b y = c } \\ { a ^ { 2 } x + b ^ { 2 } y = c } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$ax+by=c$$

Тигезләмәнең ике ягыннан by алыгыз.

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

Ике якны a-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

\frac{1}{a}'ны -by+c тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-by+c}{a} куегыз, a^{2}x+b^{2}y=c.

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

a^{2}'ны \frac{-by+c}{a} тапкыр тапкырлагыз.

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

-bay'ны b^{2}y'га өстәгез.

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

Тигезләмәнең ике ягыннан ca алыгыз.

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

Ике якны b\left(b-a\right)-га бүлегез.

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}'ны y өчен x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

-\frac{b}{a}'ны \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

\frac{c}{a}'ны -\frac{\left(1-a\right)c}{\left(b-a\right)a}'га өстәгез.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

ax һәм a^{2}x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны a^{2}'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны a'га тапкырлагыз.

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

Гадиләштерегез.

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, a^{3}x+ab^{2}y=ac'ны a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2}'нан алыгыз.

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

a^{3}x'ны -a^{3}x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, a^{3}x һәм -a^{3}x шартлар кыскартылган.

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

a^{2}by'ны -ab^{2}y'га өстәгез.

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

a^{2}c'ны -ac'га өстәгез.

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

Ике якны ab\left(a-b\right)-га бүлегез.

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

\frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}'ны y өчен a^{2}x+b^{2}y=c'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

b^{2}'ны \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} тапкыр тапкырлагыз.

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b} алыгыз.

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

Ике якны a^{2}-га бүлегез.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

x, y өчен чишелеш

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 1\text{ and }b\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$ax+by=c$$

Тигезләмәнең ике ягыннан by алыгыз.

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

Ике якны a-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

\frac{1}{a}'ны -by+c тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-by+c}{a} куегыз, a^{2}x+b^{2}y=c.

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

a^{2}'ны \frac{-by+c}{a} тапкыр тапкырлагыз.

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

-bay'ны b^{2}y'га өстәгез.

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

Тигезләмәнең ике ягыннан ca алыгыз.

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

Ике якны b\left(-a+b\right)-га бүлегез.

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)}'ны y өчен x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

-\frac{b}{a}'ны \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

\frac{c}{a}'ны -\frac{\left(1-a\right)c}{\left(-a+b\right)a}'га өстәгез.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

ax һәм a^{2}x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны a^{2}'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны a'га тапкырлагыз.

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

Гадиләштерегез.

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, a^{3}x+ab^{2}y=ac'ны a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2}'нан алыгыз.

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

a^{3}x'ны -a^{3}x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, a^{3}x һәм -a^{3}x шартлар кыскартылган.

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

a^{2}by'ны -ab^{2}y'га өстәгез.

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

a^{2}c'ны -ac'га өстәгез.

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

Ике якны ab\left(a-b\right)-га бүлегез.

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

\frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}'ны y өчен a^{2}x+b^{2}y=c'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

b^{2}'ны \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} тапкыр тапкырлагыз.

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b} алыгыз.

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

Ике якны a^{2}-га бүлегез.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$